Question

точка касания вписаной окружности в равнобедренный треугольник делит боковую сторону в отношении 4 до 7, считая от вершини ровнобедреного триугольника. Найти стороны триугольника если его периметр 72​

Answer 1

Ответ:

правильный ответ:AB=BC=21 см,AC=30см

Answer 2

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC и P - точка касания вписанной окружности. Пусть BC = a - основание треугольника, и BM = CM = x - длина боковой стороны треугольника, которая делится точкой P на отрезки 4x и 7x. Также пусть s - полупериметр треугольника ABC, то есть s = (a + 2x)/2.

Известно, что сумма длин отрезков BP и PC равна длине боковой стороны BC, то есть:

BP + PC = BC 4x + 7x = a 11x = a ...(1)

Теперь давайте воспользуемся формулой для площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности (r):

Площадь треугольника ABC = s * r

Так как треугольник ABC равнобедренный, то мы можем разбить его на два равных прямоугольных треугольника ABP и ACP:

Площадь треугольника ABC = 2 * Площадь треугольника ABP

Площадь треугольника ABC = 2 * (1/2 * x * 4x)

Площадь треугольника ABC = 4x^2

Теперь мы знаем, что s = (a + 2x)/2 и r = Площадь треугольника ABC / s, поэтому:

r = (4x^2) / ((a + 2x)/2)

Чтобы найти a и x, нам нужно найти r и a. Мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности, которая связывает площадь треугольника, полупериметр и радиус:

r = Площадь треугольника ABC / s

r = (4x^2) / ((a + 2x)/2)

У нас также есть формула для площади треугольника через радиус и полупериметр:

Площадь треугольника ABC = s * r

4x^2 = (a + 2x)/2 * r

Теперь мы знаем значения r и s:

r = 4x^2 s = 36 (полупериметр равен половине периметра, который равен 72)

Подставим r и s в уравнение:

4x^2 = (a + 2x)/2 * 4x^2

Упростим это уравнение:

2x^2 = (a + 2x)

Теперь у нас есть два уравнения: (1) и (2):

1. 11x = a
2. 2x^2 = a + 2x

Мы можем решить это систему уравнений, подставив значение a из (1) в (2):

2x^2 = 11x + 2x

2x^2 = 13x

x(2x - 13) = 0

Так как x не может быть равным нулю (иначе у нас не будет треугольника), то решение этого уравнения - это:

2x - 13 = 0

2x = 13

x = 13/2

Теперь, зная значение x, мы можем найти значение a из уравнения (1):

11x = a

11 * (13/2) = a

(11/2) * 13 = a

a = 143/2

Таким образом, стороны треугольника ABC равны:

AB = AC = a = 143/2 BC = 11x = 11 * (13/2) = 143/2

Таким образом, стороны треугольника ABC равны 143/2, 143/2 и 143/2.