Question

Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна стороне CD. Найдите AB, если AD = 4, AB^2+BC^2=11

Answer 1

Ответ:

√2 ..........................

Объяснение:

Answer 2

У равнобедренной трапеции диагонали равны, значит если AC ⊥ CD, то DB ⊥ AB. Проведём высоты BK и CF, AK = FD.

AD = 2AK + BC = 4   ⇒   $AK=\frac{4-BC}{2}$.

$KD=BC+FD=BC+\frac{4-BC}{2}=\frac{4+BC}{2}$

• Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

$BK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{\frac{4-BC}{2}\cdot\frac{4+BC}{2}}=\sqrt{\frac{16-BC^2}{4}}$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABK:

$AB^2=BK^2+AK^2$

Из равенства $AB^2+BC^2=11$ имеем $AB^2=11-BC^2$

$11-BC^2=\dfrac{16-BC^2}{4}+\left(\dfrac{4-BC}{2}\right)^2$

$11-BC^2=\dfrac{16-BC^2+16-8BC+BC^2}{4}$

$11-BC^2=8-2BC$

$BC^2-2BC-3=0$

По теореме Виета $BC=3$ и $BC=-1$ (лишний).

$AB=\sqrt{11-BC^2}=\sqrt{11-3^2}=\sqrt{2}$

Ответ: √2 .

Answer 3

Для начала, давайте обозначим точки и данные:

Пусть A, B, C и D - вершины трапеции ABCD, где AD = 4.

Так как трапеция равнобедренная, это означает, что AB = CD.

Также, поскольку диагональ AC перпендикулярна стороне CD, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACD:

AC^2 = AD^2 + CD^2

AC^2 = 4^2 + CD^2

AC^2 = 16 + CD^2

Также, мы знаем, что AB^2 + BC^2 = 11.

Но так как AB = CD, мы можем заменить AB на CD в этом уравнении:

CD^2 + BC^2 = 11

Теперь у нас есть два уравнения:

1. AC^2 = 16 + CD^2
2. CD^2 + BC^2 = 11

Мы можем сложить оба уравнения, чтобы избавиться от CD^2:

AC^2 + CD^2 + CD^2 + BC^2 = 16 + 11

2 * (CD^2) + BC^2 + AC^2 = 27

Теперь мы можем использовать первое уравнение (AC^2 = 16 + CD^2), чтобы заменить AC^2:

2 * (CD^2) + BC^2 + (16 + CD^2) = 27

2 * CD^2 + BC^2 + 16 + CD^2 = 27

Теперь объединим подобные члены:

3 * CD^2 + BC^2 + 16 = 27

3 * CD^2 + BC^2 = 27 - 16

3 * CD^2 + BC^2 = 11

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. AC^2 = 16 + CD^2
2. 3 * CD^2 + BC^2 = 11

Мы хотим найти значение AB, которое равно CD. Давайте решим эту систему уравнений для CD:

Сначала выразим CD^2 из первого уравнения:

CD^2 = AC^2 - 16

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

3 * (AC^2 - 16) + BC^2 = 11

Раскроем скобки:

3 * AC^2 - 48 + BC^2 = 11

Теперь мы знаем, что AB = CD, поэтому мы можем заменить CD на AB:

3 * AC^2 - 48 + AB^2 = 11

Теперь добавим 48 к обеим сторонам уравнения:

3 * AC^2 + AB^2 = 11 + 48

3 * AC^2 + AB^2 = 59

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает AC и AB. Однако, мы не знаем значения AC. Мы можем попробовать рассмотреть другие свойства равнобедренной трапеции, чтобы найти его.

В равнобедренной трапеции, диагонали равны, поэтому AC = BD. Так как AD = 4, то и BD = 4.

Теперь у нас есть треугольник BCD с известными сторонами BD и BC. Мы также знаем, что BC^2 + CD^2 = 11 (из уравнения 2). Имея BD и BC, мы можем найти CD:

BC^2 + CD^2 = 11 4^2 + CD^2 = 11 16 + CD^2 = 11 CD^2 = 11 - 16 CD^2 = -5

Это уравнение не имеет реальных корней в действительных числах, поэтому что-то пошло не так в решении. Вернемся к началу и перепроверим данные и решение.