Question

8. У трикутнику ABC AB = 2 см, АС= 2√3 см, BC = 4 см. 1)Знайдіть косинус кута В. 2) Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.​

Answer 1

Ответ:

$R_{\bigtriangleup ABC} = 2$см.

$\cos\angle B = \dfrac{1}{2}$

Объяснение:

Дано: AB = 2 см, АС = $2\sqrt{3}$ см, BC = 4 см

Знайти: $\cos \angle B , R_{\bigtriangleup ABC}$ - ?

Розв'язання: За теормеою косинусів для трикутника ΔABC:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2 * AB * AC * \cos\angle ABC \Longrightarrow$

$\cos\angle ABC = \dfrac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2 * AB * AC} = \dfrac{2^{2} + 4^{2} - (2\sqrt{3})^2 }{2 * 2 * 4} = \dfrac{4 + 16 - 12}{4 * 4} = \dfrac{1}{2}$.

$\angle ABC = \arccos(\cos \angle ABC) = \arccos(\frac{1}{2} ) = 60^{\circ}$. За наслідком з теореми синусів:

$R_{\bigtriangleup ABC} = \dfrac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \dfrac{2\sqrt{3} }{2 \sin 60^{\circ}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3} }{1} }{\dfrac{\sqrt{3} }{2} } = \dfrac{2\sqrt{3} }{\sqrt{3} } = 2$см.

$\cos\angle ABC = \cos\angle B = \dfrac{1}{2}$

Answer 2

1) Для знаходження косинуса кута В ми можемо застосувати теорему косинусів. Згідно цієї теореми, квадрат сторони, протилежної до кута, дорівнює сумі квадратів інших двох сторін, зменшеній на добуток цих двох сторін, помножений на косинус кута:

ab^2 = ac^2 + bc^2 - 2ac * bc * cos(B)

Підставляємо відомі значення:

(2)^2 = (2√3)^2 + (4)^2 - 2(2√3)(4) * cos(B)

4 = 12 + 16 - 16√3 * cos(B)

4 - 12 - 16 = - 16√3 * cos(B)

-24 = -16√3 * cos(B)

Переносимо все інше на одну сторону, а cos(B) на іншу:

cos(B) = (-24) / (-16√3)

Спрощуємо:

cos(B) = 3 / 2√3

2) Для знаходження радіуса кола, описаного навколо трикутника, ми можемо скористатися властивістю, що середина бісектриси кута лежить на колі, описаному навколо трикутника.

Спочатку знайдемо півпериметр трикутника:

s = (ab + ac + bc) / 2

s = (2 + 2√3 + 4) / 2

s = (6 + 2√3) / 2

s = 3 + √3

Застосуємо формулу для радіуса кола, описаного навколо трикутника:

R = (ab * ac * bc) / (4 * p)

R = (2 * 2√3 * 4) / (4 * (3 + √3))

Спрощуємо та скорочуємо:

R = (16√3) / (12 + 4√3)

Результатом є радіус кола, описаного навколо трикутника abc.