Question

Сторона АС треугольника АВС равна 15 см. На стороне ВС взята точка D так, что BD :DC = 2:3. Через точку D проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая АС в точке Е. Чему равны длины отрезков АЕ и EC?

Answer 1

Ответ:

6 см,  9 см.

Объяснение:

Дано: ΔАВС, АС=15 см, DЕ║АВ, BD:DC = 2:3. Найти АЕ и ЕС.

ΔАВС подобен ΔСDЕ (∠С - общий, ∠А=∠СЕD как соответственные при  DЕ║АВ и секущей АС)

Пусть ВD=2x  см;  CD=3x см. ;  ВС=5 х см.

АЕ=у;  СЕ=15-у.

Тогда справедливо соотношение

5х/15 = 3х/(15-у)

15-у=3х*15:5х

15-у=9

у=6

АЕ=6 см;  СЕ=9 см

Другой способ:

Дано: ΔАВС, АС=15 см, DЕ║АВ, BD:DC = 2:3. Найти АЕ и ЕС.

ΔАВС подобен ΔСDЕ (∠С - общий, ∠А=∠СЕD как соответственные при  DЕ║АВ и секущей АС) значит и АЕ:ЕС=2:3

Пусть АЕ=2х, ЕС=3х;  2х+3х=15;  5х=15;  х=3.

АЕ=6 см   ЕС=9 см.

Answer 2

Давайте обозначим длину стороны треугольника ABC как \( AC = 15 \) см.

Также, пусть \( BD:DC = 2:3 \). Это означает, что отношение длины отрезка BD к длине отрезка DC равно 2:3. Мы можем представить длину BD как \( 2x \) и длину DC как \( 3x \), где \( x \) - некоторый коэффициент.

Теперь, прямая, проведенная через точку D и параллельная стороне AB, пересекает сторону AC в точке E. Поскольку прямая параллельна стороне AB, углы \(\angle ABD\) и \(\angle BDE\) будут соответственными углами.

Таким образом, треугольники ABD и BDE подобны по стороне-углу-стороне (SAS). Это означает, что отношение длины стороны AD к длине стороны BD равно отношению длины стороны DE к длине стороны BE.

Мы знаем, что \( BD = 2x \), поэтому \( AD = 3x \). Поскольку отрезок AE - это сумма отрезков AD и DE, то \( AE = AD + DE \).

Таким образом, \( AE = 3x + DE \).

Теперь обратим внимание на треугольник BDE. Мы знаем, что сторона BD равна \( 2x \), а сторона DE - это часть стороны DC, поэтому \( DE = \frac{3}{5} \cdot DC \).

Таким образом, \( DE = \frac{3}{5} \cdot 3x = \frac{9}{5}x \).

Теперь мы можем выразить длину отрезка AE как:

\[ AE = 3x + \frac{9}{5}x \]

Общий знаменатель для сложения: \( \frac{15}{5}x + \frac{9}{5}x = \frac{24}{5}x \).

Теперь мы можем выразить отношение длин AE и EC:

\[ \frac{AE}{EC} = \frac{AE}{AC - AE} \]

Подставим значение \( AE = \frac{24}{5}x \):

\[ \frac{\frac{24}{5}x}{15 - \frac{24}{5}x} \]

Умножим числитель и знаменатель на 5, чтобы избавиться от дроби:

\[ \frac{24x}{75 - 24x} \]

Это и есть окончательное выражение для отношения длин отрезков AE и EC.