Question

Точки P і Q – середини основ AD і BC трапеції ABCD відповідно. Виявилося, що AB=BC, а точка P лежить на бісектрисі кута B. Доведіть, що BD=2PQ

Answer 1

Ответ:

...............................................

Объяснение:

Answer 2

Давайте розглянемо дану трапецію ABCD та надані умови.

1. Так як P і Q - середини основ AD і BC відповідно, ми можемо визначити, що AP = PD і BQ = QC.

2. Також дано, що AB = BC.

3. Точка P лежить на бісектрисі кута B. Це означає, що кути ABP і CBQ рівні.

Розглянемо трикутники ABP і BCQ:

- AB = BC (за умовою). - BP = BQ (оскільки P і Q - середини відповідних сторін). - Кути ABP і CBQ рівні (за умовою).

За теоремою про рівності трикутників (SSS або SAS), ми можемо сказати, що трикутники ABP і BCQ рівні.

Тепер розглянемо трапецію ABCD:

- AD || BC (за визначенням трапеції). - Трикутники ABP і BCQ рівні.

Це означає, що кути ABC і BCD рівні.

Тепер розглянемо трикутник BCD:

- BD - бісектриса кута B (за умовою). - Кути ABC і BCD рівні.

Знову використовуючи теорему про бісектрису, ми можемо сказати, що відношення довжин BD до DC дорівнює відношенню довжин AB до AC.

Тобто:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

Але ми також знаємо, що AB = BC, тому:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{BC}{AC} \]

Але ми також можемо виразити AC як суму AD і DC:

\[ AC = AD + DC \]

Підставимо це у рівняння:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{BC}{AD + DC} \]

Тепер врахуємо, що BD = 2PQ, оскільки P - середина AD:

\[ \frac{2PQ}{DC} = \frac{BC}{AD + DC} \]

Ми знаємо, що BC = AB = AD + DC, тому підставимо це значення:

\[ \frac{2PQ}{DC} = \frac{AD + DC}{AD + DC} \]

Спростимо рівняння:

\[ 2PQ = AD + DC \]

Так як P - середина AD, то AD = 2AP:

\[ 2PQ = 2AP + DC \]

Розділимо обидві сторони на 2:

\[ PQ = AP + \frac{DC}{2} \]

Але AP = PD, оскільки P - середина AD:

\[ PQ = PD + \frac{DC}{2} \]

Ми знаємо, що PD = BQ, оскільки P і Q - середини відповідних сторін трапеції:

\[ PQ = BQ + \frac{DC}{2} \]

Але BQ = QC, тому:

\[ PQ = QC + \frac{DC}{2} \]

Але Q - середина BC, тому QC = \frac{1}{2}BC:

\[ PQ = \frac{1}{2}BC + \frac{DC}{2} \]

Оскільки BC = AB, підставимо це значення:

\[ PQ = \frac{1}{2}AB + \frac{DC}{2} \]

\[ PQ = \frac{1}{2}(AB + DC) \]

Але ми знаємо, що AB + DC = BC, тому:

\[ PQ = \frac{1}{2}BC \]

Отже, ми довели, що BD = 2PQ.