Question

Дана четырёхугольная пирамида,в основании которой лежит ромб.Все высоты боковых граней,проведённые из вершин,равны 53.Высота пирамиды равна 45.Острый угол ромба,лежащего в основании,равен 60 градусов.Найди площадь основания пирамиды.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{6272\sqrt{3}}{3}$  кв. ед.

Объяснение:

Основание четырехугольной пирамиды - ромб.

SO = 45 - высота пирамиды.

Проведем перпендикуляры к сторонам основания из точки О:

OK⊥AB, OM⊥BC, OH⊥CD, OP⊥AD.

Отрезки ОК, ОМ, ОН, ОР - проекции соответствующих наклонных на плоскость основания, значит SK⊥AB, SM⊥BC, SH⊥CD, SP⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.

По условию SK = SM = SH = SP = 53, значит и

ОК = ОМ = ОН = ОР как проекции равных наклонных, проведенных из одной точки.

Тогда точка О равноудалена от сторон ромба, то есть О - центр вписанной в ромб окружности (точка пересечения диагоналей).

ΔSOH:  ∠SOH = 90°, по теореме Пифагора

 OH = √(SH² - SO²) = √(53² - 45²) = √((53 - 45)(53 + 45)) =

= √(8 · 98) = √(2 · 4 · 2 · 49) = 2 · 2 · 7 = 28

КН = 2 · ОН = 2 · 28 = 56

ВН₁ = КН = 56 как расстояния между параллельными прямыми

∠BCD = 60°, BC = CD, значит ΔBCD равносторонний.

ВН₁ - высота равностороннего треугольника, тогда

$BH_1=\dfrac{CD\sqrt{3}}{2}$

$CD=\dfrac{2\cdot BH_1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\cdot 56}{\sqrt{3}}=\dfrac{112}{\sqrt{3}}$

Площадь ромба:

$S=a^2\cdot \sin \alpha$

$a=CD=\dfrac{112}{\sqrt{3}}$

$\alpha =60^\circ$

$S=\left(\dfrac{112}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6272\sqrt{3}}{3}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для площади ромба: S = a * h, где a - длина стороны ромба, h - высота ромба.

Так как все высоты боковых граней равны 53, то это и есть длина стороны ромба. Теперь нам нужно найти высоту ромба. Мы знаем, что острый угол ромба равен 60 градусов. Таким образом, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения высоты ромба.

Высота ромба h = a * sin(60°) = 53 * √3 / 2 = 45.87

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды, используя формулу для площади ромба:

S = a * h = 53 * 45.87 = 2434.11

Таким образом, площадь основания пирамиды равна 2434.11 квадратных единиц.