Question

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 60 см і 80 см. Знайдіть сторони трикутника.

Answer 1

Ответ:

 стороны   112 и 84 соответственно

Объяснение:

h1 = h2,   т.к. ∠45

обозначим катеты Δ за "х"  и  "у"

рассмотрим подобие Δ, и составим уравнение

$>;  <img src=$;;   $x=\frac{140h}{60}=\frac{7}{3}h$ ;    (1)

$\frac{h}{80} =\frac{y}{80+60} =\frac{y-h}{60}$;   $60h=80y-80h$;    $y=\frac{140h}{80}=\frac{7}{4}h$     (2)

$x^{2} +y^{2} =(60+80)^{2}$                                                           (3)

подставляем (1) и  (2)  в (3)

$>        <img src=$

проверка        112² + 84² = 19600

                        140² = 19600   истинно

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість бісектриси прямого кута в прямокутному трикутнику. Згідно з цією властивістю, бісектриса прямого кута розділяє гіпотенузу на два відрізки, які мають такі самі пропорції, як дві інші сторони трикутника.

Позначимо сторони трикутника наступним чином: a - перший відрізок, який має довжину 60 см, b - другий відрізок, який має довжину 80 см, c - гіпотенуза трикутника.

За властивістю бісектриси прямого кута маємо наступну рівність пропорцій:

a / b = c / (a + b)

Підставимо відповідні значення:

60 / 80 = c / (60 + 80)

Скоротимо дріб та проведемо обчислення:

3 / 4 = c / 140

3 * 140 = 4 * c

420 = 4c

c = 420 / 4

c = 105

Таким чином, гіпотенуза трикутника має довжину 105 см.

Залишилося знайти залишній катет трикутника. Відомо, що катети можна знайти за теоремою Піфагора:

a^2 + b^2 = c^2

Підставимо відомі значення:

60^2 + b^2 = 105^2

3600 + b^2 = 11025

b^2 = 11025 - 3600

b^2 = 7425

b = √7425

b ≈ 86.023

Таким чином, довжина другого катета трикутника приблизно 86.023 см.

Отже, сторони прямокутного трикутника мають наступні довжини: a ≈ 60 см, b ≈ 86.023 см, c ≈ 105 см.