Question

На координатной плоскости отмечены точки A(2;6),B(2;1). отрезок AB повернули вокруг точки B на 90 градусов по часовой стрелке и получили отрезок A1 B. Найдите площадь фигуры AA1B.

Answer 1

Найдем расстояние между точками A и B:

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 +(y_B-y_A)^2} =\sqrt{(2-2)^2 + (1-6)^2} =\sqrt{25} =5$.

Построим отрезок A1B, образованный поворотом отрезка AB вокруг точки B на 90 градусов по часовой стрелке.

При повороте отрезок отображается на равный ему отрезок, поэтому A₁B = AB = 5.

Соединим точки A и A1, чтобы получить фигуру AA₁B.

Эта фигура — прямоугольный треугольник (∠B = 90°) с катетами, равными 5.

Площадь прямоугольного треугольника — это половина произведения его катетов, поэтому:

$\displaystyle S_{\triangle AA1B} = \frac{AB \cdot A_1B}{2}=\frac{5\cdot 5}{2}=\frac{25}{2}= 12,5.$

Ответ: $S_{\triangle AA1B} = 12,5.$

Answer 2

Для начала, давайте представим графическое изображение данной задачи на координатной плоскости:

A (2, 6)
                  B (2, 1)
                  |
                  |  
----------------- B
                  |
                  |
                  |
A1 (6, 2)---------A (2, 6)

Исходя из условия задачи, отрезок AB повернули вокруг точки B на 90 градусов по часовой стрелке и получили отрезок A1B. Теперь нам нужно найти площадь фигуры AA1B.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу площади треугольника, так как фигура AA1B представляет собой треугольник.

Шаг 1: Найдем длину стороны AB. Из условия задачи, точки A и B имеют координаты (2, 6) и (2, 1) соответственно. Расстояние между этими точками можно найти с помощью формулы:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
   = √((2 - 2)^2 + (1 - 6)^2)
   = √(0^2 + (-5)^2)
   = √(0 + 25)
   = √25
   = 5

Таким образом, длина стороны AB равна 5.

Шаг 2: Найдем длину стороны A1B. Поскольку точка A1 находится на таком же уровне по оси y, как и точка A, координаты точки A1 будут (6, 2). Теперь мы можем найти длину стороны A1B с помощью формулы:

A1B = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
    = √((6 - 2)^2 + (2 - 1)^2)
    = √(4^2 + 1^2)
    = √(16 + 1)
    = √17

Таким образом, длина стороны A1B равна √17.

Шаг 3: Вычислим площадь треугольника AA1B с помощью формулы площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В нашем случае, сторона A1B является основанием, а высота треугольника будет равна расстоянию между точками A и A1. Мы уже вычислили длину стороны A1B равной √17, и теперь нам нужно найти расстояние между точками A и A1.

Расстояние между точками A и A1 можно найти с помощью формулы:

AA1 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
    = √((6 - 2)^2 + (2 - 6)^2)
    = √(4^2 + (-4)^2)
    = √(16 + 16)
    = √32

Таким образом, расстояние между точками A и A1 равно √32.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника AA1B:

Площадь треугольника = (1/2) * A1B * AA1
                    = (1/2) * √17 * √32
                    = (1/2) * √(17 * 32)
                    = (1/2) * √(544)
                    = (1/2) * 8√34
                    = 4√34

Таким образом, площадь фигуры AA1B равна 4√34.