Question

1) В наклонной треугольной призме основанием служит правильный треугольник. Одна из вершин верхнего основания треугольника проектируется в центр нижнего. Боковые ребра призмы составляют с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите объем призмы, если ее высота равна 4. 2) В наклонном параллелепипеде площади двух боковых граней равны 20 и 30 см^2, а угол между ними 60 градусов. Найдите объем параллелепипеда, если его боковое ребро равно 5 см.

Answer 1

1) Проекция О вершины верхнего основания  - центр нижнего и является центром описанной около нижнего основания окружности.⇒

Отрезок А1О – высота призмы. 

АО - катет прямоугольного ∆ АОА1.

АО=А1О:tg45°=4

АО - радиус R описанной окружности 

R=a/√3⇒

a=R•√3=4√3

V(призмы)=S (ABC)•A1O

S(ABC)=(4√3)²•√3/4=12√3

 V=12√3•4=48√3 (ед. площади)

——————————
Угол между боковыми гранями  - двугранный и равен его линейному углу.

Из вершины D возведем отрезок DM⊥CC1. Из т.M перпендикулярно к CC1 проведем луч до пересечения с ВВ1 в точке К 

Угол DMK-  данный и равен 60°.  

DM перпендикулярна противоположным сторонам грани ВВ1С1С и является высотой параллелограмма DD1С1С. ⇒

DМ=Ѕ(DD1С1С): ВВ1

DМ=30:5=6 см

Аналогично КM=Ѕ(ВВ1С1С):СС1=20:5=4 см

"Отрежем" от исходной наклонной призмы треугольную призму КМСВ и параллельным переносом установим ее на верхнее основание наклонной призмы. Вследствие  этого получим прямую призму АDMKK1M1D1A1. объём которой равен объёму исходной. 

V=АА1•S(ADMK)

S(ADMK)=KM•DM•sin60°=4•6•√3/2=12√3

V=5•12√3=60√3