Question

9. У рівнобедреному трикутнику проведені висоти до бічних сторін. Доведіть, що пряма, що з’єднує точку їх перетину з вершиною трикутника, ділить кут при вершині навпіл.

Answer 1

Ответ:

Доведено

Объяснение:

Answer 2

Для доведення цього твердження, давайте розглянемо рівнобедрений трикутник ABC, в якому AD, BE і CF є висотами, спускаючимися з вершин A, B і C відповідно. Позначимо точку перетину висот як H.

Для початку, зверніть увагу, що в рівнобедреному трикутнику AB = AC, оскільки він має дві рівні сторони. Тому ми можемо записати:

AB = AC

Також, оскільки AD є висотою, AD ⊥ BC, тобто AD і BC перпендикулярні. Аналогічно, BE ⊥ AC і CF ⊥ AB.

Тепер давайте розглянемо трикутник AHB. Оскільки AD ⊥ BC, ми можемо сказати, що ∠ADB = 90 градусів.

Розглянемо також трикутник AHC. Оскільки AD ⊥ BC, ми можемо сказати, що ∠ADC = 90 градусів.

Отже, в трикутнику ADB і трикутнику ADC маються дві спільні сторони AD і AD, а також дві рівні прямі кути ∠ADB = ∠ADC = 90 градусів. З цього ми можемо заключити, що трикутники ADB і ADC є подібними за правилом "кут-сторона-кут" (angle-side-angle).

Оскільки трикутники ADB і ADC є подібними, відповідні сторони також пропорційні. Тобто:

AB/AC = AD/AH

Але ми також знаємо, що AB = AC, оскільки ми маємо рівнобедрений трикутник. Замість цього виразу ми можемо написати:

1 = AD/AH

Отже, AD = AH.

Аналогічним чином, ми можемо довести, що BD = BH і CD = CH.

Тепер ми маємо прямі AH, BH і CH, які є висотами, що проходять через одну точку H. Оскільки AD = AH, ми можемо сказати, що пряма, що з'єднує вершину трикутника A з точкою перетину висот H, ділить кут