Question

Через кінець радіуса сфери проведено площину під кутом 30° до цього радіуса. Знайдіть площу сфери, якщо довжина лінії перетину сфери і площини дорівнює 12л см.

Answer 1

Відповідь:

16πл²

Пояснення:

Позначимо центр сфери як O, а точку перетину радіуса і площини як A.

Зазначимо, що OA є радіусом сфери, тоді OB є нашою лінією перетину, а кут AOB дорівнює 30°.

Оскільки OA і OB є радіусами сфери, то вони мають однакову довжину, позначимо її як r.

Також позначимо довжину відрізка AB як d.

Оскільки кут AOB дорівнює 30°, то можна записати, що:

cos 30° = AB/OB

або

√3/2 = d/r

Звідси маємо:

d = (√3/2) r

Довжина відрізка OB може бути знайдена за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику OAB:

OB² = OA² - AB²

OB² = r² - d²

OB² = r² - (3/4) r²

OB² = (1/4) r²

OB = (1/2) r

Таким чином, маємо:

d = (√3/2) r

OB = (1/2) r

Площа круга може бути знайдена за формулою:

S = 4πr²

Оскільки OB є діаметром круга, то маємо:

S = πOB²

S = π(1/4) r²

S = (π/4) r²

Тепер маємо вираз для площі сфери через довжину лінії перетину з площиною:

S = (π/4) r² = (π/3) (d/√3)²

S = (π/3) (12л/√3)²

S = 48πл²/3

S = 16πл²

Відповідь: площа сфери дорівнює 16πл².

Answer 2

Для вирішення цього завдання нам знадобиться теорема Піфагора для трикутника, утвореного радіусом сфери, площиною і лінією перетину.

Позначимо радіус сфери як R, а відрізок, на який розбиває лінію перетину радіус, як x.

За теоремою Піфагора в трикутнику радіус-площина-лінія перетину маємо: x^2 + (R - R*cos(30°))^2 = (12л)^2

Поміняємо Rcos(30°) на Rsqrt(3)/2: x^2 + (R - R*sqrt(3)/2)^2 = (12л)^2

Розкриваємо квадрати: x^2 + R^2 - RRsqrt(3) + R^2/4 = (12л)^2

Зведемо підібрані елементи: 5x^2/4 + 5R^2/4 - RRsqrt(3) = 144л^2

Так як x = Rsin(30°) = R/2, підставимо це значення: 5(R/2)^2/4 + 5R^2/4 - RR*sqrt(3) = 144л^2

Спростимо вирази: 5R^2/16 + 5R^2/4 - RRsqrt(3) = 144л^2 5R^2/16 + 20R^2/16 - RRsqrt(3) = 144л^2 25R^2/16 - RRsqrt(3) = 144л^2 R^2(25/16 - sqrt(3)) = 144л^2

Тепер ми можемо знайти R^2: R^2 = (144л^2) / (25/16 - sqrt(3))

Отже, площа сфери дорівнює: S = 4πR^2 = 4π * (144л^2) / (25/16 - sqrt(3))