Question

Даны векторы AB = 3i - j + 2k и AC = -3i + 2j - k. Найдите длину вектора, равного: б) AB - AC; г) AB - AC.

Answer 1

Ответ:

б) 3√6

г) √6

Объяснение:

Любой вектор можно разложить по координатным векторам , т.е представить в виде $\vec{p} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом , следовательно $\vec{p}(x;y;z)$ - координаты вектора p.

Дано:

$\overrightarrow{AB}$ = 3i - j + 2k и $\overrightarrow{AC}$= -3i + 2j - k

Найти:

б) $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$ , г) $\big| \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\big|$

Решение:

б) $\overrightarrow{AB}$= 3i - j + 2k и $\overrightarrow{AC}$ = -3i + 2j - k

Тогда определим координаты векторов:

$\overrightarrow{AB} (3; - 1;2) \: \: \: , \: \: \: \overrightarrow{AC}( - 3;2; - 1)$

Разность векторов равна разности одноименных координат:

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = (3 - ( - 3); - 1 - 2;2 - ( - 1)) = \\ = (6; - 3;3)$

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат:

$\big|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \big| = \sqrt{ 6 {}^{2} + ( - 3) {}^{2} + 3 {}^{2} } = \\ = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}$

г) При умножении числа на вектор - число умножается на каждую координату этого вектора.

Вынесем за скобки 1/3 тогда будет проще:

$\displaystyle \frac{1}{3} \bigg( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\bigg) = \frac{1}{3} \bigg(6; - 3;3 \bigg) =(2; - 1;1) \\ \\ \bigg|\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \bigg| = \sqrt{2 {}^{2} + ( - 1) {}^{2} + 1 {}^{2} } = \sqrt{6}$

#SPJ1

Answer 2

Для нахождения длины вектора AB - AC, мы должны вычислить разность векторов AB и AC, а затем определить длину полученного вектора.

а) Разность векторов AB и AC: AB - AC = (3i - j + 2k) - (-3i + 2j - k)

Раскроем скобки: AB - AC = 3i - j + 2k + 3i - 2j + k

Сгруппируем одинаковые компоненты: AB - AC = (3i + 3i) + (-j - 2j) + (2k + k) = 6i - 3j + 3k

б) Длина вектора AB - AC: Длина вектора AB - AC обозначается как ||AB - AC||.

Длина вектора AB - AC вычисляется по формуле: ||AB - AC|| = sqrt((6i)^2 + (-3j)^2 + (3k)^2)

Вычислим каждый компонент: ||AB - AC|| = sqrt(36i^2 + 9j^2 + 9k^2) = sqrt(36 + 9 + 9) = sqrt(54) = √(9 * 6) = 3√6

г) Длина вектора AB + AC: Длина вектора AB + AC также вычисляется по формуле: ||AB + AC|| = sqrt((6i)^2 + (-3j)^2 + (3k)^2)

Вычислим каждый компонент: ||AB + AC|| = sqrt(36i^2 + 9j^2 + 9k^2) = sqrt(36 + 9 + 9) = sqrt(54) = √(9 * 6) = 3√6

Таким образом, длина векторов AB - AC и AB + AC равна 3√6.