Question

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 28 см. Точ- кою дотику вписаного кола вока ділиться у відношенні 4:3, по- чинаючи від вершини трикутника. Знайдіть периметр трикут- ника.​

Answer 1

Оскільки трикутник є рівнобедреним, то його бічні сторони рівні між собою. Нехай ця сторона дорівнює x см. Тоді інші дві сторони також дорівнюють x см.

Опустимо з вершини трикутника перпендикуляр на бічну сторону. Цей перпендикуляр розділить бічну сторону на дві ділянки, одна з яких буде дорівнювати (4/7) * 28 = 16 см (оскільки точка дотику ділить бічну сторону у відношенні 4:3).

Так як точка дотику є центром вписаного кола, то відрізок, який його з'єднує з вершиною трикутника, є радіусом цього кола. За теоремою Піфагора маємо:

r^2 = (x/2)^2 + (16)^2

де r - радіус вписаного кола. Розв'язуючи це рівняння відносно r, отримуємо:

r = sqrt((x^2)/4 + 256)

Периметр трикутника складається з трьох сторін і дорівнює:

P = 2x + 2r

Підставляємо вираз для r і замінюємо x на 28, оскільки бічна сторона дорівнює 28:

P = 2 * 28 + 2 * sqrt((28^2)/4 + 256) ≈ 99.59 см

Отже, периметр трикутника дорівнює близько 99.59 см.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використовується властивість про те, що точка дотику вписаного кола з бічною стороною рівнобедреного трикутника ділить її на дві частини пропорційно до довжин відповідних сегментів.

Позначимо довжину бічної сторони трикутника як x. Оскільки трикутник рівнобедрений, то його інші дві сторони також мають довжину x.

За властивістю вписаного кола, сума довжин двох сегментів бічної сторони трикутника є рівною довжині третьої сторони:

x/3 + x/4 + 28 = x

Домножимо обидві частини рівняння на 12, щоб позбавитися від знаменників:

4x + 3x + 336 = 12x

7x + 336 = 12x

336 = 12x - 7x

336 = 5x

x = 336/5 = 67.2

Тепер, щоб знайти периметр трикутника, додаємо довжини всіх трьох сторін:

Периметр = x + x + 28 = 67.2 + 67.2 + 28 = 162.4

Отже, периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 162.4 см.