Question

2. Знайдіть критичні точки функції y(x)=x⁴-2x³-2x²+5​

Answer 1

Відповідь: Щоб знайти критичні точки функції, потрібно знайти похідну та прирівняти її до нуля:

y'(x) = 4x³ - 6x² - 4x

4x³ - 6x² - 4x = 0

4x(x² - (3/2)x - 1) = 0

Таким чином, можна побачити, що критичними точками є x = 0, x = 2, та x = -1/2.

Щоб визначити, які з цих точок є максимумами або мінімумами, потрібно проаналізувати знак похідної в околі кожної точки. Для цього можна скористатися другою похідною:

y''(x) = 12x² - 12x - 4

y''(0) = -4, тому x = 0 є максимумом.

y''(2) = 20, тому x = 2 є мінімумом.

y''(-1/2) = 7, тому x = -1/2 є мінімумом.

Отже, критичні точки функції y(x) = x⁴ - 2x³ - 2x² + 5 мають такі координати: (0, 5), (-1/2, 81/16) та (2, -15). Точка (0, 5) є максимумом, а точки (-1/2, 81/16) та (2, -15) є мінімумами.

Пояснення:

Answer 2

Щоб знайти критичні точки функції y(x) = x⁴ - 2x³ - 2x² + 5, треба знайти похідну цієї функції та розв'язати рівняння, яке задовольняє умову, що похідна рівна нулю.

Спочатку обчислимо похідну функції y(x):

y'(x) = 4x³ - 6x² - 4x

Потім прирівняємо похідну до нуля і розв'яжемо це рівняння:

4x³ - 6x² - 4x = 0

Застосуємо факторизацію:

2x(2x² - 3x - 2) = 0

Тепер розв'яжемо два рівняння:

2x = 0 => x = 0

2x² - 3x - 2 = 0

Можемо вирішити друге рівняння за допомогою факторизації або за допомогою квадратного рівняння. Використаємо останній варіант:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

a = 2, b = -3, c = -2

x = (-(-3) ± √((-3)² - 4 * 2 * (-2))) / (2 * 2) = (3 ± √(9 + 16)) / 4 = (3 ± √25) / 4 = (3 ± 5) / 4

Таким чином, ми маємо дві можливі значення для x:

x₁ = (3 + 5) / 4 = 2

x₂ = (3 - 5) / 4 = -0.5

Отже, критичні точки функції y(x) = x⁴ - 2x³ - 2x² + 5 є x₁ = 2 та x₂ = -0.5.