Question

Із вершини с прямокутного трикутника АВС (<С=90°) проведено перпендикуляр СК до площини трикутника. Точка к сполучена з його вершинами А і В. Знайди від- стань від точки С до площини (АВК), якщо АВ=25 см, ВС=15 см, а кут між площинами (АВК) і (АВС) дорівнює 60°.​

Answer 1

Давайте розглянемо ситуацію і розберемося з геометрією задачі.

Ми маємо прямокутний трикутник ABC, де ∠С = 90°. Точка К - це точка на відрізку СМ, який є перпендикуляром до площини трикутника ABC. Також відомо, що точка К сполучена з вершинами А і В.

Для знаходження відстані від точки С до площини (АВК) використовуємо такі кроки:

Крок 1: Знайдемо висоту трикутника ABC, проведену з вершини С. Висота трикутника ABC - це відрізок, який йде від вершини С і перпендикулярний до сторони АВ.

Враховуючи, що трикутник ABC є прямокутним, можна використати подібність трикутників, щоб знайти висоту. Використовуючи відношення сторін, маємо:

(СК / ВС) = (АК / АВ)

Підставляючи відомі значення, отримаємо:

(СК / 15) = (АК / 25)

Тепер нам потрібно знайти значення СК. За умовою задачі точка К знаходиться на відрізку СМ, тому можемо використати теорему Піфагора:

СМ² = СК² + КМ²

Припустимо, що КМ = х (відстань від точки К до точки М). Тоді отримаємо:

25² = СК² + х²

Крок 2: Знайдемо кут між площинами (АВК) і (АВС). Ми знаємо, що цей кут дорівнює 60°.

Крок 3: Знайдемо шукану відстань від точки С до площини (АВК). Нехай ця відстань дорівнює h.

Ми можемо застосувати теорему синусів до трикутника САК:

sin(60°) = h / СК

Тепер ми маємо два рівняння, які допоможуть нам знайти СК і h. Розв'яжемо цю систем