Question

Доведіть, що чотирикутник АBCD з вершинами у точках А(2;1), (1;-3), С(-3;-2), D(-2;2) є прямокутником

Answer 1

Для того щоб довести, що чотирикутник ABCD є прямокутником, ми можемо перевірити, чи виконуються дві умови:

1. Протилежні сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину.
2. Діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярні одна до одної.

Давайте спочатку обчислимо довжини сторін чотирикутника ABCD:

Сторона AB: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(1 - 2)² + (-3 - 1)²] = √[(-1)² + (-4)²] = √[1 + 16] = √17

Сторона BC: BC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(-3 - 1)² + (-2 - (-3))²] = √[(-4)² + (1)²] = √[16 + 1] = √17

Сторона CD: CD = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(-2 - (-3))² + (2 - (-2))²] = √[(1)² + (4)²] = √[1 + 16] = √17

Сторона DA: DA = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] = √[(2 - (-2))² + (1 - 2)²] = √[(4)² + (-1)²] = √[16 + 1] = √17

За нашими обчисленнями, всі сторони чотирикутника ABCD мають довжину √17.

Тепер давайте перевіримо, чи є діагоналі чотирикутника ABCD перпендикулярними одна до одної. Для цього ми можемо обчислити нахил (slope) кожної діагоналі і перевірити, чи вони дорівнюють один одному.

Нахил діагоналі AC: slope_AC = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-2 - 1) / (-3 - 2) = (-3) / (-5) = 3/5

Нахил діагоналі BD: slope_BD = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (2 - (-3)) / (-2 - 2) = (5) / (-4) = -5/4

Нахил діагоналі AC не дорівню