Question

Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд?

Answer 1

Рисунок и док-во составлено с помощью моего конспекта по геометрии за 8 класс.

*хорда в 1 пункте - дуга (ошибочка вышла)

Answer 2

Теорема об отрезках пересекающихся хорд гласит следующее:

В окружности, пересекающейся хорды AB и CD в точке E, произведение отрезков AE и EB равно произведению отрезков CE и ED.

Доказательство:

Пусть M и N - точки пересечения хорд AB и CD соответственно.

Так как хорды AB и CD пересекаются в точке E, по теореме о пересекающихся хордах получаем: AM * MB = CM * MD.

Рассмотрим треугольники AEB и CED.

По свойству подобных треугольников имеем: (AE / CE) = (EB / ED).

Переставим дробь: (AE / EB) = (CE / ED).

Умножим обе части равенства на EB * ED: AE * ED = CE * EB.

Из равенства AM * MB = CM * MD следует, что AM = CM и MB = MD.

Тогда AE = CE - AM и EB = ED - MD.

Подставим эти равенства в уравнение AE * ED = CE * EB: (CE - AM) * ED = CE * (ED - MD).

Раскроем скобки: CE * ED - AM * ED = CE * ED - CE * MD.

CE * ED сокращаются на обеих сторонах уравнения, оставляя:

• AM * ED = - CE * MD.

Умножим обе части уравнения на -1: AM * ED = CE * MD.

По свойству равенства можно поменять местами части уравнения, получив: CE * MD = AM * ED.

Заметим, что AM * ED = AE * EB, а CE * MD = CE * ED.

Итак, получаем: AE * EB = CE * ED.

Таким образом, мы доказали, что в окружности, пересекающихся хордах AB и CD, произведение отрезков AE и EB равно произведению отрезков CE и ED.