Question

Медианы треугольника 3 см, 4 см , 5 см. Найдите площадь треугольника

Answer 1

Если медианы AN, BP, CK треугольника ABC пересекаются в точке О, то можно рассмотреть треугольник ONR, где R - середина ОС. Т.к. медианы точкой О делятся в отношении 1:2, то стороны ONR в 3 раза меньше соответствующих медиан (OR=KC/3, NR=OB/2=BP/3, ON=AN/3). Значит его площадь в 9 раз меньше площади треугольника, составленного из медиан. Т.к медианы равны 3,4,5, то это прямоугольный треугольник, и значит S(ONR)=(3*4/2)/9=2/3. С другой стороны S(ONR)=S(ONC)/2=S(OBC)/4=S(ABC)/12. Т.е. S(ABC)=(2/3)*12=8.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника по длинам его сторон. Однако в данном случае у нас заданы медианы треугольника, а не его стороны.

Медианы треугольника делят каждую сторону пополам и пересекаются в точке, называемой центром тяжести треугольника. Известно, что медиана делит сторону в отношении 2:1, то есть расстояние от вершины до центра тяжести равно двум третям длины медианы.

Используя эту информацию, мы можем найти длины сторон треугольника. Пусть a, b и c - это длины сторон треугольника, и 2a, 2b и 2c - это длины медиан треугольника.

Известно, что: 2a = 3 см, 2b = 4 см, 2c = 5 см.

Разделив каждое из этих уравнений на 2, мы получим: a = 3/2 см, b = 2 см, c = 5/2 см.

Теперь, когда мы знаем длины сторон треугольника, мы можем использовать формулу Герона для нахождения его площади (S):

S = sqrt(s(s - a)(s - b)(s - c)),

где s - полупериметр треугольника, определяемый как (a + b + c)/2.

Подставим значения сторон в формулу:

s = (3/2 + 2 + 5/2)/2 = 12/4 = 3 см,

S = sqrt(3(3 - 3/2)(3 - 2)(3 - 5/2)) = sqrt(3(3/2)(1)(1/2)) = sqrt(9/4) = 3/2 см².

Таким образом, площадь треугольника составляет 3/2 квадратных сантиметра.