Question

Вершина треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:5:10.Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 19.

Answer 1

Задание С-4 экзамена ОГЭ. Теперь ты знаешь как его решить

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые свойства описанных окружностей треугольников.

Пусть стороны треугольника имеют длины a, b и c, а радиус описанной окружности равен R.

В данной задаче мы знаем, что меньшая сторона треугольника равна 19. Пусть она будет стороной a.

Также дано, что отношение длин дуг, образованных вершинами треугольника, равно 3:5:10. Пусть эти дуги имеют длины α, β и γ соответственно.

Известно, что длина дуги, образованной вершиной треугольника, равна произведению угла, образованного этой вершиной, и радиуса описанной окружности. Таким образом, мы можем записать следующие соотношения:

α = 3θ β = 5θ γ = 10θ

где θ - угол в радианах.

Кроме того, мы можем записать закон синусов для треугольника:

a/ sin(α) = b/ sin(β) = c/ sin(γ) = 2R

Поскольку мы знаем, что a = 19, мы можем записать:

19/ sin(3θ) = b/ sin(5θ) = c/ sin(10θ) = 2R

Для удобства введем новую переменную x = sin(θ), тогда наше соотношение будет выглядеть следующим образом:

19/ sin(3θ) = b/ sin(5θ) = c/ sin(10θ) = 2R

19/ (3x - 4x^3) = b/ (5x - 20x^3) = c/ (10x - 120x^3) = 2R

Мы получили систему уравнений, которую можно решить численно или графически для нахождения значения x. Затем, используя найденное значение x, мы можем найти радиус R.

Для точного численного решения требуются дополнительные данные о значениях b и c, чтобы найти углы треугольника. Без этих данных мы можем найти только отношение радиуса описанной окружности к длине стороны треугольника, но не сам радиус окружности.