Question

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки,длины которых равны 5 и 3. Найдите площадь этого треугольника.

Answer 1

Применены: теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике,  формула площади треугольника

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать следующий факт: высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит треугольник на два подобных треугольника.

Пусть h - высота, x - один из отрезков гипотенузы, а y - другой отрезок гипотенузы. Тогда пропорция между отрезками гипотенузы и соответствующими катетами будет следующей:

x/h = h/y

Так как длины отрезков гипотенузы равны 5 и 3, у нас есть два уравнения:

x + y = 5 x/y = 5/3

Можно решить эту систему уравнений для нахождения значений x и y.

Умножим второе уравнение на y, чтобы избавиться от дробей:

x = 5y/3

Подставим это значение x в первое уравнение:

5y/3 + y = 5

Умножим оба члена уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

5y + 3y = 15

8y = 15

y = 15/8

Подставим это значение y обратно в уравнение x = 5y/3:

x = 5 * (15/8) / 3 = 25/8

Таким образом, получили, что x = 25/8 и y = 15/8.

Теперь мы знаем длину катетов прямоугольного треугольника: один равен 25/8, а другой 15/8. Мы также знаем высоту h, которая делит гипотенузу на эти отрезки.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

Площадь = (1/2) * (25/8) * (15/8)

Упростим это выражение:

Площадь = (25 * 15) / (2 * 8 * 8) = 375 / 128

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет 375/128 или около 2.93.