Question

1. Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку

Answer 1

Это по одной из аксиом стереометрии:

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Это третья аксиома стереометрии.

Answer 2

Предположим, что у нас есть две плоскости, обозначим их как P₁ и P₂. Пусть точка A принадлежит обеим плоскостям, то есть A ∈ P₁ и A ∈ P₂.

Предположим, что плоскости P₁ и P₂ не пересекаются по прямой, проходящей через точку A. Это означает, что нет ни одной прямой, лежащей одновременно в обеих плоскостях P₁ и P₂ и проходящей через точку A.

Но если прямая не лежит в одной из плоскостей, то она не может пересекать плоскость в точке, принадлежащей ей. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что точка A принадлежит обеим плоскостям.

Следовательно, мы приходим к выводу, что плоскости P₁ и P₂ пересекаются по прямой, проходящей через общую точку A.