Question

2. В четырехугольнике ABCD к диагонали АС проведены перпен- дикуляры BF и DK, причем BF = DK, угол BAF = угол DCK. Докажите,что ABCD – параллелограмм.​

Answer 1

Прямоугольные треугольники $ABF$ и $CKD$ равны по катету и прилежащему острому углу ($\angle ABF=\angle KDC$). Из равенства треугольников следует, что $AB=CD$

Так как $\angle BAF=\angle DCK$ - накрест лежащие углы равны, то по первому признаку параллельности прямых $AB~\big|\big|~CD$

• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, $ABCD$ - параллелограмм.

Answer 2

Для доказательства того, что ABCD является параллелограммом, мы должны показать, что противоположные стороны параллельны.

Рассмотрим четырехугольник ABCD:

markdownCopy code
  A______B
  |      |
  |      |
  D______C

Диагональ AC пересекается с перпендикуляром BF в точке F, а также с перпендикуляром DK в точке K. По условию, длина BF равна длине DK, и угол BAF равен углу DCK.

Давайте рассмотрим треугольники ABF и CDK:

markdownCopy code
  A______B
  |  /   |
  | /    |
  |/_____|

  C______D
  |  /   |
  | /    |
  |/_____|

У нас есть следующая информация:

1. BF = DK (дано)
2. Угол BAF = углу DCK (дано)
3. Угол ABF = углу CDK (вертикальные углы)
4. Треугольник ABF является равнобедренным (BF = AF)
5. Треугольник CDK является равнобедренным (DK = CK)

Из этих условий следует, что треугольники ABF и CDK равны друг другу по двум сторонам и углу, так как равные стороны и равные углы соответствуют друг другу.

Теперь мы можем сделать вывод, что сторона AB параллельна стороне CD, так как соответствующие углы ABF и CDK равны, и треугольники ABF и CDK равны друг другу. Аналогично, мы можем показать, что сторона AD параллельна стороне BC.

Таким образом, все стороны ABCD параллельны парам соответствующих сторон, и мы можем заключить, что ABCD - параллелограмм.