Question

Через середину Е гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ,равный 4корней из 5. АС=ВС=16см, уголС=90градусов. Вычислите: а)Расстояние от точки М до прямой АС б)площади треугольника АСМ и его проекции на плоскость данного треугольника. в)Расстояние между прямыми ЕМ и ВС 

Answer 1

Проведём к плоскости АВС перпендикуляр ЕМ. Соединим точки Е и С, СЕ перпендикулярно АВ поскольку в равнобедренном треугольнике медиана и высота совпадают(в условии точка Е -точка медианы).Соединим точку М с вершинами А и С. Проведём перпендикуляр из Е к АС в точку N. Угол САВ=45 по условию, тогда угол NЕА=45, поскольку в треугольнике АNЕ угол ANE прямой. Значит треугольник АNЕ равнобедренный АN=NЕ=8. NЕ является медианой и высотой треугольника АЕС. Тогда расстояние от М до АС  МN=корень из (МЕ квадрат+ NЕ квадрат)=корень из (16*5+64)=12. Площадь АСМ=1/2 АС*МN=1/2*16*12=96. Площадь его проекции равна S=1/2АС*NЕ=1/216*8=64. МЕ перпендикулярно плоскости итреугольника АВС и расстояние между ЕМ и ВС равно перпендикуляру из точки Е на ВС в точку К. ТО есть ЕК=ЕН=8.

Answer 2

а) Так как треугольник АВС прямоугольный, то ЕМ является высотой, проходящей через его середину. Поэтому расстояние от точки М до прямой АС равно половине гипотенузы: AM = BM = СВ/2 = 8 см.

б) Определим длину стороны АМС, используя теорему Пифагора:

$AC = \sqrt{AS^2 + SC^2} = 16\sqrt{2}$ см

Тогда:

$AM = BM = \frac{AC}{2} = 8\sqrt{2}$ см

$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = 8\sqrt{6}$ см

Теперь можем найти площадь треугольника АСМ, используя формулу:

$S_{\Delta AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM = 32\sqrt{3}$ см$^2$

Для нахождения проекции треугольника АСМ на плоскость АСВ воспользуемся формулой:

$S_{\Delta AMC}' = \frac{S_{\Delta AMC} \cdot BM}{AM} = \frac{32\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} = 32\sqrt{3}$ см$^2$

То есть площадь проекции равна площади самого треугольника.

в) Так как ЕМ перпендикулярна плоскости АВС и проходит через середину гипотенузы, то она является основанием прямой, перпендикулярной гипотенузе. Поэтому расстояние между прямыми ЕМ и ВС равно расстоянию между точками их пересечения с гипотенузой. Найдем эти точки:

$EM \parallel BS \Rightarrow \angle ESM = 90^\circ$

$EM = 4\sqrt{5}$ см, $BM = \frac{AC}{2} = 8\sqrt{2}$ см

$ES = \sqrt{EM^2 - SM^2} = \sqrt{EM^2 - BM^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ см

$BS = \frac{SC \cdot BM}{AC} = \frac{256}{16\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ см

Таким образом, расстояние между прямыми ЕМ и ВС равно:

$d = BS - ES = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{5}$ см