Question

Вычисли сумму углов восемнадцатиугольника

Answer 1

Сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле

S = 180° · (n - 2)

Для 18-угольника  n = 18

S = 180° · (18 - 2) = 180° · 16 = 2880°

Answer 2

Сначала найдем количество диагоналей, исходящих из одной вершины. Восемнадцатиугольник имеет 18 вершин, поэтому из каждой вершины может выходить 15 диагоналей (так как не учитываем в качестве диагоналей стороны самого многоугольника и отрезки, соединяющие смежные вершины). Таким образом, всего диагоналей в многоугольнике будет 18 × 15 = 270.

Каждая диагональ делит многоугольник на два треугольника. Восемнадцатиугольник имеет 18 сторон, поэтому он разбивается на (18 × (18-3)) / 2 = 135 треугольников. Каждый треугольник имеет сумму углов 180 градусов, поэтому в сумме все треугольники вносят в сумму 135 × 180 = 24300 градусов.

Так как каждая диагональ соединяет две вершины, она также соединяет два треугольника, поэтому каждая диагональ добавляет в сумму углов восемнадцатиугольника 180 градусов. Восемнадцать вершин многоугольника образуют 18 × (18-3) / 2 = 135 диагоналей, поэтому все диагонали вместе дают 135 × 180 = 24300 градусов.

Итого, сумма углов восемнадцатиугольника равна сумме углов всех треугольников, образованных в многоугольнике (24300 градусов), плюс сумма углов, добавляемых каждой диагональю (24300 градусов). Это дает итоговую сумму углов:

24300 + 24300 = 48600 градусов.