Question

Площадь меньшего основания усеченного конуса равна 9 пи см 2. Отрезок, соединяющий центр большего основания с точки окружности меньшего основания, равен 5 см и параллельный одной из образующих. Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса.

Answer 1

Ответ:

Sсеч= 36

Объяснение:

Сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция

Меньшее основание которой 2r.

Sосн=πr^2=9π;. r=3; гипотенуза ∆ равна 5, по теореме Пифагора высота h=√(5^2-3^2)=4

По условию отрезок соединяющий вершину основания и центр нижнего основания параллелен образующей, => полученный параллелограмм образован верхним основанием и образующей конуса, меньшее основание 2r=6, => большее основание =12

Отсюда площадь трапеции (сечения ус.конуса)

S = (6+12)/2*4=36 см^2

Answer 2

Обозначим большее основание усеченного конуса радиусом $R$, меньшее основание радиусом $r$, образующие $a$ и $a'$, высоту $h$ и расстояние $d$ от центра основания большей окружности до точки пересечения отрезка и меньшей окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом большей окружности, половиной отрезка $d$ и образующей $a'$. Из него можем выразить $h$:
$$h^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + R^2 - \left(\frac{a'}{2}\right)^2$$

Также, из подобия треугольников видно, что $\frac{a'}{a} = \frac{R-r}{h}$, откуда $a' = \frac{a(R-r)}{h}$.

По формуле для площади усеченного конуса имеем:
$$S = \frac{\pi (R^2+r^2+Rr)\cdot \sqrt{(R-r)^2 +h^2}}{3}$$

Подставляя выражения для $h$ и $a'$ и упрощая, получаем:
$$S = \frac{\pi (R^2+r^2+Rr)\cdot \sqrt{(R-r)^2 +\left(\frac{d}{2}\right)^2 + R^2 - \frac{a'^2}{4}}}{3}$$

Подставляем известные значения: $r^2 = 9\pi$, $a' = \frac{5h}{R-r}$, $d^2 = R^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2$, $a = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$, и получаем окончательный ответ:
$$S = \frac{40\pi (4R^2 - 3R\sqrt{R^2-9\pi} + 9\pi)}{27(R+\sqrt{R^2-9\pi})}$$