Question

Стороны равностороннего треугольника делятся точками K, L, M в одном и том же отношении (считая по часовой стрелке). Докажите, что треугольник KLM также равносторонний. Сделайте чертежи пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Треугольник АВС - правильный  =>

АВ = ВС = АС,  ∠А = ∠В = ∠С = 60°.

AK/KB = BL/LC=CM/AM (дано).  =>

AK/AB = BL/BC = CM/AC = k.

АК = k·AB, BL = k·BC, CM = k·AC =>

AK=BL=CM  и KB=LC = AM.

Треугольники KBL, LCM и MAK равны по двум сторонам и углу между ними.  =>

KL = LM = МK  =>

Треугольник KLM равносторонний, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для начала, нарисуем равносторонний треугольник ABC:

cssCopy code
        A
       / \
      /   \
     /     \
    B-------C

Теперь проведем линии, которые делят стороны треугольника в отношении 1:2:

cssCopy code
        A
       / \
      /   \
     /     \
    B-------C
   / \   /   \
  /   \ /     \
K-----L-------M

Заметим, что каждая из линий KL, LM, MK является медианой своего треугольника. Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то KL = AL / 2, LM = CM / 2, MK = BK / 2.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AL = CM = BK = AB = BC = AC. Подставляя это в уравнения для длин отрезков KL, LM и MK, получим KL = LM = MK = AB / 2.

Таким образом, треугольник KLM также равносторонний:

cssCopy code
         A
       /   \
      /     \
     /       \
    B---------C
   / \     /   \
  /   \   /     \
K-----L--M-------K

Что и требовалось доказать.