Question

Докажите теорему о свойстве точек выпуклого неразвернутого угла , равноудаленных от сторон этого угла

Answer 1

Доказательство

1) Возьмем произвольную точку M на биссектрисе угла BAC, проведем перпендикуляр MK и ML к прямым AB и AC

Рассмотрим прямоугольные треугольники AMK и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу. (AM - общая гипотенуза, ∠1∠2 по условию\). Следовательно, MKML

2) Пусть точка M лежит внутри угла BAC и равноудалена от его сторон AB и AC. Докажем, что луч AM - биссектриса угла BAC

Проведем перпендикуляры MK и ML к прямым AB и AC. Прямоугольные треугольники AMK и AML - равны по гипотенузе и катету (AM - общая гипотенуза, MKML по условию ). Следовательно, ∠1∠2. Но это и значит, что луч AM - биссектриса угла BAC. Теорема доказана

Answer 2

Пусть дан выпуклый неразвернутый угол ABC. Пусть M и N — точки на одной из его сторон, такие что они равноудалены от сторон угла ABC. Нам нужно доказать, что эти точки находятся на биссектрисе угла ABC.

Доказательство:

1. Поскольку точки M и N равноудалены от сторон угла ABC, то AM = AN и BM = BN.

2. Пусть P — точка пересечения биссектрисы угла ABC с отрезком MN.

3. Мы хотим доказать, что точка P лежит на биссектрисе угла ABC. Для этого достаточно доказать, что AP = BP.

4. Рассмотрим треугольники ABP и ABN. Они имеют общую сторону AB и равные углы BAP и BAN (поскольку точки M и N равноудалены от сторон угла ABC).

5. Из равенства AM = AN следует, что треугольники ABP и ABN равнобедренные.

6. Значит, AP = AN и BP = BN.

7. Из (4) и (6) следует, что AP = BP.

8. Мы доказали, что точка P лежит на биссектрисе угла ABC.

Таким образом, мы доказали, что любые две точки, равноудаленные от сторон выпуклого неразвернутого угла, лежат на его биссектрисе.