Question

Начертите прямоугольник 5 на 3, закрасьте центральную клетку, остальную площадь поделите пополам. Должны получится равные фигуры (совпадающие при наложении). Сколько различных способов существует? (симметричные не считаем дважды)

Answer 1

Похоже, есть 3 способа, см фото

Answer 2

Для начала начертаем прямоугольник 5 на 3 клетки и закрасим центральную клетку:

diffCopy code
+-+-+-+
| | | |
+-+-+-+
| |X| |
+-+-+-+
| | | |
+-+-+-+

Теперь нужно разделить оставшиеся 14 клеток на две равные части. Поскольку количество клеток нечетное, мы не можем разделить их на две равные прямоугольные части. Однако, мы можем разделить их на две равные фигуры, используя диагональ прямоугольника:

diffCopy code
+-+-+-+
|*| |*|
+-+-+-+
| |X| |
+-+-+-+
|*| |*|
+-+-+-+

Здесь звездочками отмечены клетки, которые должны быть в одной фигуре, а пустыми клетками отмечены клетки, которые должны быть в другой фигуре.

Теперь мы можем рассмотреть различные способы заполнения каждой из этих фигур. Для каждой из двух фигур у нас есть 7 клеток, которые мы можем заполнить или оставить пустыми. Таким образом, всего существует $2^7 = 128$ различных способов разделить прямоугольник на две равные фигуры. Однако, мы должны учитывать симметричные варианты только один раз, так как они должны быть учтены только один раз.

Существует 4 оси симметрии прямоугольника, и для каждой оси симметрии мы можем сопоставить две фигуры, которые будут симметричны относительно этой оси. Таким образом, для каждого из 128 вариантов разделения прямоугольника на две фигуры, мы должны проверить, являются ли эти две фигуры симметричны относительно одной из осей симметрии. Если они являются симметричными, то мы должны их учитывать только один раз.

Чтобы упростить этот процесс, мы можем заметить, что если мы разделим прямоугольник на две равные фигуры с помощью любой диагонали, то эти две фигуры будут симметричны относительно центра прямоугольника. Таким образом, нам нужно проверить только половину из 128 вариантов разделения прямоугольника на две фигуры. Таким образом, число различных способов