Question

В прямоугольном треугольнике АВС катеты равны 12 и 45 .Найдите наибольшую из биссектрис.

Answer 1

В тр-ке АВС АС=45, ВС=12, значит ∠A<∠B, значит  наибольшей будет биссектриса угла А.
АК - биссектриса.
АВ²=АС²+ВС²=45²+12²=2169,
АВ=3√241.
По теореме биссектрис АС/АВ=СК/ВК.
Пусть СК=х, ВК=12-х.
45/х=3√241/(12-х),
540-45х=3х√241,
3х(√241+15)=540,
х=180/(√241+15)≈5.9 
СК=5.9, ВК=12-5.9=6.1,
АК²=АС·АВ-СК·ВК=45·3√241-5.9·6.1≈2059.8,
АК=≈45.4 - это ответ.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно использовать формулу для биссектрисы известного угла треугольника:

$$l = \sqrt{ab \left(1 - \frac{c^2}{(a+b)^2}\right)}$$

Здесь $a$ и $b$ - длины катетов, а $c$ - длина гипотенузы треугольника.

Для прямоугольного треугольника $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, поэтому

$$l = \sqrt{ab \left(1 - \frac{a^2 + b^2}{(a+b)^2}\right)} = \sqrt{\frac{ab(a+b)^2 - ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2}} = \sqrt{\frac{2ab(a+b)}{(a+b)^2}} = \sqrt{\frac{2ab}{a+b}}.$$

Подставляя $a = 12$ и $b = 45$, получаем

$$l = \sqrt{\frac{2 \cdot 12 \cdot 45}{12+45}} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}.$$

Таким образом, наибольшая из биссектрис равна $6\sqrt{10}$ и идет из вершины прямого угла.