Question

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=3. Длины боковых ребер пирамиды SA=√11, SB=3√3, SD=2√5. Найдите её площадь полной поверхности.

Answer 1

Из условия вытекает, что все боковые грани - прямоугольные треугольники. В треугольниках ASD и ASB сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны. Тогда ребро SA вертикально.

S(ASB) = (1/2)*4*√11 = 2√11.

S(ASD) = (1/2)*3*√11 = 1,5√11.

S(SDС) = (1/2)*(2√5)*4 = 4√5.

S(SВС) = (1/2)*3√3*3 = 4,5√3.

Площадь основания So = 3*4 = 12.

Площадь полной поверхности равна сумме граней.

S = (3,5√11 + 4√5 + 4,5√3 + 12) кв.ед.

Answer 2

Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Найдем площадь основания пирамиды. Так как основание является прямоугольником, то его площадь равна произведению длин его сторон:

S_осн = AB * BC = 4 * 3 = 12.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно найти площади четырех треугольников, образующих эту поверхность. Обозначим точку пересечения высот пирамиды, опущенных из вершин S и D, как точку E.

Найдем высоту треугольника SAB, опущенную из вершины S на сторону AB. Обозначим ее как h_1. В прямоугольном треугольнике SAB с катетами SA и AB гипотенуза SB:

SB^2 = SA^2 + AB^2 3√3^2 = √11^2 + 4^2 27 = 11 + 16 h_1 = SA * AB / SB = √11 * 4 / 3√3 = 4 / √3

Найдем высоту треугольника SBC, опущенную из вершины S на сторону BC. Обозначим ее как h_2. В прямоугольном треугольнике SBC с катетами SA и BC гипотенуза SC:

SC^2 = SA^2 + BC^2 (√11 + 3)^2 = 11 + 9 h_2 = SA * BC / SC = √11 * 3 / (√11 + 3) = 3√11 / 4

Найдем высоту треугольника SCD, опущенную из вершины S на сторону CD. Обозначим ее как h_3. В прямоугольном треугольнике SCD с катетами SD и CD гипотенуза SC:

SC^2 = SD^2 + CD^2 (2√5 + 3)^2 = 20 + 9 h_3 = SD * CD / SC = 2√5 * 3 / (2√5 + 3) = 6√5 / 7

Найдем высоту треугольника SAD, опущенную из вершины S на сторону AD. Обозначим ее как h_4. В прямоугольном треугольнике SAD с катетами SA и AD гипотенуза SD:

SD^2 = SA^2 + AD^2 (2√5)^2 = 11 + AD^2 AD = √16 = 4 h_4 = SA * AD / SD = √11 * 4 / (2√5