Question

Пожалуйста, решите и объясните, как решать. У трикутника зі стороною 10 см і висотою 7 см, проведеною до даної сторони,вписано прямокутник, сторони якого відносяться як 4:7, причому менша сторона прямокутника належить даній стороні трикутника. Знайдіть сторони прямокутника.

Answer 1

В треугольник со стороной 10 см и высотой 7 см, проведенной к этой стороне,  вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 4:7, причем меньшая сторона прямоугольника лежит на данной стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника. 
---------
Сделаем рисунок треугольника АВС и вписанного прямоугольника ТМКО 
Треугольники МВК и АВС подобны -  МК||АС, углы при основаниях равны по свойству параллельных прямых и секущей, и угол В - общий. 
Пусть коэффициент отношения сторон прямоугольника будет х. 
Тогда ТО=МК=4х, 
МТ=КО=7х 
Высота ВЕ ∆ МВК=ВН-ЕН=7-7х 
Из подобия треугольников следует отношение их высот и оснований:  ВН:ВЕ=АС:МК 
7:(7-7х)=10:4х 
28х=70-70х 
98х=70 
х=70:98=5/7 см ⇒
МК=ТО=4*5/7=20/7=2 4/7 см 
МТ+КО=7*5/7=5 см 
Проверка: 
ТО:ОК=(20/7):5=4/7

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства вписанных фигур и прямоугольников.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через x, а большую - через y. Тогда соотношение между x и y будет следующим:

x:y = 4:7

Поскольку меньшая сторона прямоугольника належит стороне треугольника, то мы можем записать:

x = 7z

где z - высота прямоугольника.

Также мы знаем, что высота треугольника, опущенная на данную сторону, равна 7 см. Тогда мы можем записать:

(1/2)107 = (x+z)*7

Разрешая эту уравнение относительно z и подставляя значение x, получим:

z = (35 - 7x)/11

Теперь мы можем записать площадь прямоугольника через x и z:

S = xz = 7x(35 - 7x)/11

Упрощая это выражение, получим:

S = 5x(5 - x)

Теперь мы можем найти максимальное значение S, используя метод нахождения экстремумов функции:

dS/dx = 5(5 - 2x)

dS/dx = 0 при x = 5/2

d2S/dx2 = -10 < 0

Таким образом, максимальное значение S достигается при x = 5/2.

Теперь мы можем найти значение y:

y = (7/4)x = (35/8) см

Таким образом, стороны прямоугольника равны:

x = 5/2 см

y = 35/8 см