Question

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке М1. На продолжении прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А− В− К, D− С− Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2, М1M2 = 8 см. Найдите AD.

Answer 1

AD=8 см
т.к. М1ВМ2С - прямоугольник, т.к угол АВМ1+КВМ2 = М2ВС+ СВМ1, а сумма всех этих углов = 180 град (развернутый угол, т.е. М1ВМ2 =90 град.
Так же докажем, что М1СМ2= 90 град..
В прямоугольнике диагонали равны, т.е. М1М2=ВС = 8см
В параллелограмме параллельные стороны равны, т.е AD=ВС=8 см

Answer 2

Заметим, что $\angle M_1BC = \angle M_1CB$ и $\angle M_1CD = \angle M_1DC$. Также из параллельности сторон $AB \parallel CD$ следует, что $\angle ABC = \angle BCD$. Значит, треугольники $M_1BC$ и $M_1CD$ подобны. Аналогично можно показать, что треугольники $M_2BC$ и $M_2CD$ подобны. Так как биссектрисы углов пересекаются на стороне $BC$, то треугольники $M_1BM_2$ и $M_1CM_2$ тоже подобны.

Обозначим $BC = a$, $BM_1 = x$, $BM_2 = y$. Тогда $CM_1 = a - x$ и $CM_2 = a - y$. Из подобия треугольников $M_1BM_2$ и $M_1CM_2$ имеем: $\frac{x}{y} = \frac{a-x}{a-y}$ $x(a-y) = y(a-x)$ $ax + xy = ay + xy$ $ax = ay$ $x = y$

Таким образом, $BM_1 = BM_2$. Поскольку $M_1M_2 = 8$ см, то $BM_1 = BM_2 = 4$ см. Так как $\angle BMC = 180^\circ$, то $BM_1^2 + CM_1^2 = BM_2^2 + CM_2^2$, откуда получаем: $x^2 + (a-x)^2 = y^2 + (a-y)^2$ $x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = y^2 + a^2 - 2ay + y^2$ $2x^2 - 2y^2 = 2a(x-y)$ $(x+y)(x-y) = a(x-y)$ $x+y = a$

Из этого равенства следует, что $AK = BK = a - BM_1 = a - 4$ см и $DR = CR = a - BM_2 = a - 4$ см. Так как $AD = AK + KD + DR$, то $AD = 2(a-4) + BC = 2(a-4) + a = 3a-8