Question

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В, проведены ВН – высота, АМ – медиана, которые пересекаются в точке Р. Определить длину АВ, если ВР=10, РН=2.

Answer 1

Проведем перпендикуляр MQ||BH||PH. То  MQ-cредняя  линия  треугольника BHC.  MQ=BH/2=6. (HQ=QC)  
Треугольники  AMQ и APH подобны. 
По  теореме  высоты: AH*HC=144
то если  AH=x  HC=144/x , HQ=144/2x
Далее  все на  рисунке.
Ответ:6sqrt(5)

Answer 2

Рассмотрим треугольник ВРН. Так как ВН является высотой, то угол ВРН прямой, а значит, угол ВРА является противоположным углом и также прямой. Значит, треугольник ВРА также является прямоугольным.

Также, так как точка Р является точкой пересечения медиан, то она делит медиану на две равные части, то есть AM = MR.

Используем теорему Пифагора для треугольника ВРА:

AB^2 = BR^2 + RA^2

Так как ВР = 10 и РН = 2, то BN = BR - RN = 10 - 2 = 8.

Также, так как точка Р является точкой пересечения медиан, то BM = 2MR = 2AM/2 = AM.

Рассмотрим треугольник ВМН. Так как ВН является высотой, то угол ВМН прямой, а значит, угол ВМР является противоположным углом и также прямой. Значит, треугольник ВМР также является прямоугольным.

Используем теорему Пифагора для треугольника ВМР:

VM^2 = VR^2 + RM^2

Так как VM = 2BM (медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы), то:

4BM^2 = VR^2 + RM^2

Но так как MR = AM/2 = BM, то:

4BM^2 = VR^2 + BM^2

Таким образом, у нас есть два уравнения:

AB^2 = BR^2 + RA^2

4BM^2 = VR^2 + BM^2

Подставим BM^2 из второго уравнения в первое:

AB^2 = BR^2 + RA^2

AB^2 = (BN + RN)^2 + (AM/2)^2

AB^2 = (8 + 2)^2 + (AM/2)^2

AB^2 = 100 + (AM/2)^2

Но мы знаем, что AM = MR * 2 = BM * 2, так что:

AB^2 = 100 + BM^2 * 4

AB^2 = 100 + 4BM^2

AB^2 = 100 + (VR^2 + BM^2)

AB^2 = 100 + VR^2 + (4BM^2 - BM^2)

AB^2 = 100 + VR^2 + 3BM^2

Подставим значения для VR и BM:

AB^2 = 100 + 10^2 + 3(2^2)

AB^2 = 100 + 100 + 12

AB^2 = 212

Таким образом, д