Question

Найдите критические точки: f(x)=2+18x^2-x4

Answer 1

Критичними точками називають значення аргументу, в яких похідна функції не існує або дорівнює нулю.

Answer 2

Для нахождения критических точек функции f(x) необходимо найти её производную f'(x) и решить уравнение f'(x) = 0:

f(x) = 2 + 18x^2 - x^4

f'(x) = 36x - 4x^3

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

36x - 4x^3 = 0

4x(9 - x^2) = 0

Таким образом, критические точки функции f(x) находятся в точках:

x = 0, x = √9 = 3, x = -√9 = -3

Чтобы определить, является ли каждая из этих точек экстремумом, необходимо проанализировать знаки производной f'(x) на интервалах между ними. Если знак производной меняется с "плюс" на "минус" при переходе через точку, то это экстремум максимума, если же с "минус" на "плюс", то это экстремум минимума. Если знак не меняется, то точка не является экстремумом.

f'(x) > 0 на интервалах (-∞, -3) и (0, 3) f'(x) < 0 на интервале (-3, 0)

Таким образом, x = -3 и x = 3 являются точками минимума, а x = 0 не является экстремумом.