Question

Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны равны 24 и 32 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

Answer 1

Третья сторона равна 70-24-32=14
Отношение искомых отрезков (по своейству биссектрисы) равно 24/32=3/4. значит 3x+4x=14, т.е. x=2.
Значит отрезки равны 6см и 8см.

Answer 2

Обозначим длину третьей стороны как x. По формуле полупериметра найдем значение полупериметра треугольника:

p = (24 + 32 + x)/2 = (56 + x)/2

Зная полупериметр и длины сторон, по формуле Герона найдем площадь треугольника:

S = sqrt(p(p - 24)(p - 32)(p - x))

Так как периметр треугольника равен 70 см, то x = 70 - 24 - 32 = 14 см. Подставляя данное значение в формулу площади, получаем:

S = sqrt((70/2)(23)(17)(9)) = 276 см²

Выразим длину биссектрисы треугольника через длины сторон и угол между ними, используя формулу:

bl = 2bc * sqrt(p(p - b)(p - c))/(b + c)

где bl - длина биссектрисы, bc - медиана, b и c - длины сторон, смежных с углом α.

Для нахождения длины биссектрисы нам нужно знать угол α, который можно найти, используя теорему косинусов:

cos(α) = (24² + 32² - x²)/(2 * 24 * 32)

cos(α) = 23/32

α = arccos(23/32) ≈ 39.45°

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы:

bl = 2 * 24 * 32 * sqrt((56 + 14)/2 * (56 - 24) * (56 - 32) * 14)/((24 + 32) * sqrt(24² + 32² - 2 * 24 * 32 * cos(39.45°)))

bl ≈ 22.34 см

Отрезок третьей стороны, на который биссектриса делит треугольник, можно найти с помощью пропорции:

x1/x2 = c/b

где x1 - длина отрезка, на который биссектриса делит третью сторону, x2 - длина оставшейся части третьей стороны.

Подставим известные значения:

x1/x2 = 32/24

x1 = (32/24) * x2

x1 + x2 = x

(32/24) * x2 + x2 = 14

(56/24) * x2 = 14

x2 = 24/7 см

x1 = (32/24) * x2 = 32/7 см

Таким образом, биссектриса треугольника делит третью сторону на два отрезка длиной 32/7 см и 24/7