Question

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Answer 1

OB=OC=r
AO=AC-OC =25-r

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
∠ABO=90°

AO^2= AB^2 +OB^2 <=>
(25-r)^2= 15^2 +r^2 <=>
25^2 -50r +r^2 = 15^2 +r^2 <=>
r =(25^2 -15^2)/50 =10*40/50 =8

D=2r= 16

Answer 2

Обозначим точку касания окружности с прямой AB как D. Так как окружность касается AB в точке B, то BD является радиусом окружности.

Также заметим, что точка D является точкой пересечения прямой AC и высоты из вершины C (так как AC является диаметром окружности). Обозначим точку пересечения как E.

Так как треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в вершине C, то CE является половиной гипотенузы AC. Значит, CE = 12.5.

Также заметим, что треугольник BDE также является прямоугольным, с прямым углом в точке D. Значит, по теореме Пифагора:

BD^2 = BE^2 + DE^2

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику ACE, так как они имеют общий угол при вершине A и соответственные углы. Таким образом, мы можем найти BE как:

BE / AB = CE / AC

BE / 15 = 12.5 / 25

BE = 7.5

Теперь можем вычислить DE, используя тот факт, что треугольники BDE и BCE подобны:

DE / CE = BD / BC

DE / 12.5 = BD / (AC/2) = BD / 12.5

DE = BD

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

BD^2 = BE^2 + DE^2 BE = 7.5 DE = BD

Решая ее, мы находим BD = DE = 5√3. Диаметр окружности равен 2BD, то есть 10√3.

Итак, диаметр окружности равен 10√3.