Question

В треугольнике АВС угол С прямой, а угол А равен 30 градусив.Через точку С проведена прямая СМ, перпендикулярную плоскости трикутника.АС = 18 см, СМ = 12 см.Найдите длины перпендикуляров, проведенных из точки М до прямой АВ и с точки в плоскости (АСМ).

Answer 1

Начнём с конца. Перпендикуляр из точки В на плоскость АСМ - это катет треугольника ВС. Его можно найти, зная длину другого катета (АС = 18) и угол А = 30 градусов. Его синус = 1/2, косинус = √3/2, а значит стороны треугольника:
АВ = AC/cosA = 18/(√3/2) = 36/√3 
ВС = sinA*AB = 1/2 * (36/√3) = 18/√3
Второе требуемое мы нашли. Теперь к первому.
Пусть перпендикуляр из точки М к прямой АВ попадает на эту прямую в точке Н. Тогда СН - это высота треугольника АВС (по мне очевидно, но если надо, можно доказать). Найдём СН. Для этого рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник АСН, в нём АС - это гипотенуза, значит:
СН = AC*sinA = 18 * 1/2 = 9
Теперь рассмотрим треугольник МСН. Он тоже прямоугольный и нам надо найти его гипотенузу:
МН² = СМ² + СН² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15²
МН = 15
Вот собственно и всё. Не забывайте про единицы измерения, как я, и спрашивайте, если непонятно.

Answer 2

Сначала найдем длину стороны ВС. Так как угол А равен 30 градусам, а угол С прямой, то угол В равен 180 - 30 - 90 = 60 градусов. Тогда, применяя теорему косинусов к треугольнику АВС, получим:

cos 60° = (ВС² + АС² - АВ²) / (2 × ВС × АС)

1/2 = (ВС² + 18² - АВ²) / (2 × ВС × 18)

ВС² + 324 - АВ² = ВС²

АВ² = 324

АВ = 18√3 см

Теперь рассмотрим плоскость АСМ. Так как СМ перпендикулярна к этой плоскости, то перпендикуляр из точки М на эту плоскость будет проходить через середину СМ. Обозначим эту точку как О.

Так как АСМ является прямоугольным треугольником, то для нахождения длины перпендикуляра из точки М на эту плоскость можно воспользоваться подобием треугольников. Обозначим длину этого перпендикуляра как х. Тогда:

х / СМ = АО / АС

х / 12 = (18 / 2) / 18

х = 6 см

Таким образом, длина перпендикуляра из точки М на плоскость АСМ равна 6 см.

Наконец, чтобы найти длину перпендикуляра из точки М на прямую АВ, нужно рассмотреть треугольник МВО, где О - середина СМ, а МВ - высота. Так как МО = 6 см, а ВМ = ВС - СМ = 18√3 - 12 см = 6√3 см, то:

МВ² = МО² + ОВ²

(6√3)² = 6² + ОВ²

ОВ² = 108

ОВ = 6√3 см

Таким образом, длина перпендикуляра из точки М на прямую АВ равна 6√3 см.