Question

45 баллов. Вершины четырехугольника АВСD лежат на окружности с центром в точке О. Найдите угол D этого четырехугольника, если хорды АВ и ВС равны радиусу окружности.​

Answer 1

Ответ:

/_D=60°

Объяснение:

Соединим точки А и С с центром окр О. получим ромб АВСО так как все сторогы равны r. Причем его диагональ ОВ = r. Значит треуг АВО и СВО - равносторонние, а угол АВС равен 60°×2=120°.

Длина дуги АС на которую опирается угол АВС=2×120°=240°.

Угол D = 1/2 дуги АDC = 1/2×(360°- дуга АВС)= (360°-240°)/2=60°

Answer 2

Из условия задачи следует, что радиус окружности равен длине хорд АВ и ВС. Обозначим радиус этой окружности через R.

Так как АВ и ВС равны радиусу окружности, то АВС – равносторонний треугольник. Значит, угол между сторонами АВ и ВС равен 60 градусов.

Также из свойств окружности следует, что угол между хордами АВ и СD равен половине угла между дугами АС и BD, проходящими через эти хорды. Обозначим этот угол через α.

Так как АВ и ВС равны радиусу окружности, то угол между ВС и CD также равен 60 градусов.

Из суммы углов в четырехугольнике АВСD получаем:

∠D = 360° - ∠AVB - ∠BVC - ∠CVD = 360° - 60° - 60° - 2α = 240° - 2α

Осталось найти угол α. Рассмотрим треугольник АОС. Угол между сторонами АО и СО равен 60 градусов (так как это угол в равностороннем треугольнике АВС), угол между сторонами АО и ОС равен 90 градусов (так как это угол в полукруге, проходящем через А, О и С), а значит, угол между сторонами СО и АС равен:

α = 180° - 60° - 90° = 30°

Подставляем этот результат в формулу для угла D:

∠D = 240° - 2α = 240° - 2×30° = 180°

Ответ: угол D равен 180 градусов.