Question

Как доказать теорму о центре вписанной в треугольник окружности?

Answer 1

Теорема: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
Доказательство: Действительно, вписанная в треугольник ABC окружность с центром в точке O касается всех сторон треугольника по определению вписанной окружности. Это значит, что точка O удалена от сторон треугольника ABC на расстояние, равное радиусу вписанной окружности, то есть точка O равноудалена от сторон треугольника ABC. Следовательно, точка O равноудалена от сторон AB и AC, то есть лежит на биссектрисе угла A. Аналогично точка O лежит на биссектрисе углов B и C. Теорема доказана.
Мы знаем, что центр окружности равноудален от всех точек окружности (по определению) в том числе и от точек касание сторон треугольника. Также мы знаем, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. А точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от каждой стороны, т. к. равноудалена от трех пар сторон для кадой биссектрисы. Таким образом, в треугольнике есть только одна точка равноудаленная от всех сторон - это пересечение биссектрис треугольника. Поэтому центр лежит именно в этой точке. 

Answer 2

Теорема о центре вписанной в треугольник окружности утверждает, что внутри треугольника существует окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Чтобы доказать эту теорему, следуйте инструкциям ниже:

Шаг 1: Нарисуйте треугольник ABC и постройте биссектрису угла A.

Шаг 2: Пусть точка I будет точкой пересечения биссектрисы угла A и линии, перпендикулярной стороне BC.

Шаг 3: Докажите, что точка I лежит на радикальной оси окружностей, вписанных в треугольники ABC, AB и AC.

Шаг 4: Докажите, что точка I также лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника ABC.

Шаг 5: Следовательно, точка I является центром окружности, вписанной в треугольник ABC.

Шаг 6: Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается всех трех сторон треугольника в точках, где эти стороны пересекают окружность.

Таким образом, мы доказали теорему о центре вписанной в треугольник окружности.