Question

Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30 см

Answer 1

Если соединить точки В и О, мы получим два треугольника АВО и ВОС. Так как все стороны ромба равны АВ=ВС=СО=АО и равны радиусу окружности, а также ОВ является радиусом треугольники АВО и ВОС равносторонние. Значит углы в треугольниках по 60º. Угол АОС=60+60=120º, а так как угол АОС является центральным, то градусная мера дуги, на которую он опирается тоже равна 120º.
Вся окружность это 360º и это 30см. А 120º это х.
По пропорции находим х=120*30/360=10.
Ответ: 10см.

Answer 2

Рассмотрим треугольник АОВ, где О - центр описанной окружности ромба АВСО, а В - точка пересечения диагоналей. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник АОВ - прямоугольный.

Пусть радиус описанной окружности равен r. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

AV² = AO² + OV² = (2r)² + r² = 5r²

Так как АВСО - ромб, то АВ = ВС, следовательно, ВО является медианой треугольника АВС и равенство ВО = (2/3)·AV имеет место быть. Заменяем AV на найденное выше выражение:

VO = (2/3)·AV = (2/3)·√5r² = (2/3)·r·√5

Теперь можем найти длину дуги АС, содержащей вершину В. Для этого воспользуемся формулой длины дуги окружности:

L = α·r,

где α - центральный угол дуги. Так как ВО является медианой треугольника АВС, то она также является биссектрисой угла АВС, а значит угол ВАО равен половине угла ВСА, то есть 45 градусов. Следовательно, угол АОС равен 90° - 45° = 45°, а длина дуги АС, содержащей вершину В, будет:

L = 45°·r = 45°·(30 см / 2π) ≈ 7,18 см.