Question

На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили соответственно точки E и F такие, что BE:EA=1:2, BF:FC=3:1. Вне плоскости треугольника ABC взяли точку P. Выразите вектор FE через векторы PA, PB и PC.

Answer 1

Ответ:

FE = (1/3)PA+(5/12)PB-(3/4)PC.

Объяснение:

Вектор FE =ВЕ - ВF (по правилу разности векторов).  

Вектор BF = (3/4)*BC. Вектор BC = PC - PB (по правилу разности векторов)

BF = (3/4)*(PC - PB).

Вектор ВЕ = (1/3)*ВА.  Вектор ВА = РА - PB.

ВЕ = (1/3)*(РА - PB).

FE = ВЕ - BF =  (1/3)*(РА - PB) -  (3/4)*(PC - PB). Или

FE = (1/3)PA+(5/12)PB-(3/4)PC.

Answer 2

Чтобы выразить вектор FE через векторы PA, PB и PC, воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, тогда по этой теореме имеем:

PA · BH = 0, PB · CH = 0, PC · AH = 0.

Рассмотрим векторы:

PE = PB + BE, PF = PC + CF.

Выразим векторы BE и CF через векторы AB и BC:

BE = (2/3) · EA · AB = (2/3) · (A + B), CF = (1/4) · FC · BC = (1/4) · (B + C).

Тогда

PE = PB + (2/3) · (A + B), PF = PC + (1/4) · (B + C).

Вычтем из второго равенства первое:

PF – PE = (PC – PB) + (1/4) · (B + C) – (2/3) · (A + B) = (PC – PB) + (1/4) · C – (2/3) · A – (1/12) · B.

Заметим, что векторы PC – PB, A и B являются сторонами треугольника PAB, а вектор C/4 является медианой, проведенной из вершины P. Поэтому сумма этих векторов равна нулю:

PC – PB + A + B + C/4 = 0.

Отсюда получаем, что

PC – PB = -(A + B + C/4).

Подставляем это выражение в предыдущее равенство и получаем:

PF – PE = -(A + B + C/4) + (1/4) · C – (2/3) · A – (1/12) · B = -(7/12) · A – (1/4) · B + (1/4) · C.

Таким образом, мы выразили вектор FE через векторы PA, PB и PC:

FE = PF – PE = -(7/12) · A – (1/4) · B + (1/4) · C.