Question

на стороне ОА угла АОВ отложены отрезки ОА1=А1А2=А2А3=1см, а на стороне ОВ отрезки ОВ1=В1В2=В2В3=3см. докажите что А1В1 параллельны А2В2 параллельны А3В3

Answer 1

По обратной теореме Фалеса: Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Подробно: 

Прямые А1В1, А2В2, А3В3 пересекают две другие прямые ОА и ОВ и образуют с ними треугольники с вершиной О. Эти треугольники  подобны по общему углу О и пропорциональным сторонам. Поэтому соответственные углы А1, А2, А3 при пересечении прямых А1В1, А2В2, А3В3  секущей ОА и соответственные углы В1, В2, В3 при пересечении тех же прямых секущей ОВ равны. 

Если соответственные углы, образованные  при пересечении двух прямых секущей равны, то такие прямые параллельны. 

Согласно этому признаку параллельности прямых А1В1 параллельна А2В2 и параллельна А3В3. Аналогично А2В2 параллельна А3В3, что и требовалось доказать.