Question

Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции

Answer 1

трапеция АВСД, ВС=14, АД=40, радиус вписанной=25, возможны 2 варианта

1. центр окружности О внутри трапеции, проводим радиусы ОА=ОВ=ОС=ОД=25, треугольник ВОС равнобедренный, проводим высоту ОН на ВС, ОН=медиане=биссектрисе, ВН=НС=1/2ВС=14/2=7, треугольник ВОН прямоугольный, ОН=корень(ОВ в квадрате-ВН в квадрате)=корень(625-49)=24, треугольник АОД равнобедренный, проводим высоту=медиане=биссектрисе на АД, АК=КД=1/2АД=40/2=20, треугольник АОК прямоугольный, ОК=корень(ОА в квадрате-АК в квадрате)=корень(625-400)=15, НК-высота трапеции=ОН+ОК=24+15=39,

2 вариант центр вне трапеции (АД выше О), тогда все тоже самое, только НК -высота=ОН-ОК=24-15=9

Answer 2

Радиус равен половине диагоналю трапеции =25- диагональ АС. Высота MH = по т Пифагора 25²-20²=625-400=225=15. МН=15*2=30
высота=30

Answer 3

Для решения задачи, нам понадобится использовать свойства вписанных фигур.

Пусть $AB$ и $CD$ являются основаниями трапеции, причем $AB$ является меньшим основанием. Пусть $E$ и $F$ - это точки касания окружности с основаниями $AB$ и $CD$ соответственно. Также пусть $H$ - это высота трапеции.

Так как $EF$ является радиусом окружности, то $EF$ перпендикулярен к хорде $AB$. Это означает, что $EF$ является высотой трапеции.

Из свойств треугольника, мы можем вычислить длину боковой стороны трапеции $BC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = AC^2 - AB^2 = (2 \cdot 25)^2 - (40-14)^2 = 4 \cdot 25^2 - 26^2 = 1476$

$BC = \sqrt{1476} \approx 38.4$

Так как $EF$ является высотой трапеции, то она перпендикулярна к основаниям $AB$ и $CD$. Используя теорему Пифагора в треугольниках $AEF$ и $CEF$, мы можем найти длины отрезков $AE$ и $CE$:

$AE^2 = AF^2 - EF^2 = 25^2 - (\frac{AB-CD}{2})^2 = 25^2 - 13^2 = 576$

$AE = \sqrt{576} = 24$

$CE^2 = CF^2 - EF^2 = 25^2 - (\frac{AB+CD}{2})^2 = 25^2 - 27^2 = 196$

$CE = \sqrt{196} = 14$

Таким образом, высота трапеции равна длине отрезка $EF$, который является медианой трапеции и проходит через точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

По теореме медианы, медиана трапеции делит ее на два треугольника равных площадей. Обозначим $M$ - это точку пересечения медианы $EF$ с диагональю $AC$. Тогда $AM = \frac{1}{3}AC$.

$AC = AE + CE = 24 + 14 = 38$

$AM = \frac{1}{3}AC = \frac{1}{3} \cdot 38 = \frac{38}{3}$

Также по теореме Пифагора в треугольнике $AEM$ мы можем н