Question

2 равнобедренных треугольника АБС И АДС имеют общее основание АС,вершины В и Д расположены по разные стороны от АС Точка Е лежит на отрезке ВД ,но не лежит на отрезке АС,Докажите,что угол ЕАС =углу АСЕ ( с чертежом)

Answer 1

Вершина равнобедренного треугольника лежит на серединном перпендикуляре к основанию (в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой). B и D - вершины равнобедренных треугольников с общим основанием AC, следовательно BD - серединный перпендикуляр к АС. Е лежит на серединном перпендикуляре к AC, следовательно треугольник AEC - равнобедренный, углы EAC и ACE при его основании равны.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения построим следующий чертеж:

cssCopy code
         B           D
          *         *
           *       *
            *     *
             *   *
              * *
        A-----*-----C
              E

В данном чертеже треугольники $ABS$ и $ADS$ равнобедренные, так как у них равны основания $AB=AD$ и равны углы при вершинах $B$ и $D$.

Также, по условию, точка $E$ лежит на отрезке $BD$, но не на отрезке $AC$.

Рассмотрим теперь углы $\angle EAC$ и $\angle ACE$. Так как $AB=AD$, то углы $\angle BAC$ и $\angle DAC$ также равны. Значит, треугольники $ABC$ и $ADC$ подобны.

Тогда можно выразить соотношение между сторонами треугольников $ABC$ и $ADC$:

$\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AD}.$

Также, так как треугольник $AEC$ является прямоугольным, то можно использовать теорему Пифагора для нахождения сторон $AE$ и $EC$:

$AE^2+EC^2=AC^2.$

Подставим выражение для $AC$ из первого уравнения во второе:

$AE^2+EC^2=\frac{AC^2\cdot AB^2}{AD^2}.$

Теперь рассмотрим углы $\angle EAC$ и $\angle ACE$:

$\angle EAC = \angle EAB + \angle BAC = \angle CAD + \angle BAC,$ $\angle ACE = \angle ACD + \angle DCE.$

Используя равенство углов в треугольниках $ABC$ и $ADC$ получаем:

$\angle EAC = \angle CAD + \angle BAC = \angle ACD + \angle DAC = \angle ACE.$

Таким образом, мы доказали, что угол $\angle EAC$ равен углу $\angle ACE$, что и требовалось доказать.