Question

У треугольника авс угол с равен 90 градусов сн высота cd биссектриса угла ВСН Докажите AC=AD

Answer 1

В геометрии главное чертеж!

Начертили чертеж - решили пол задачи!

Пусть в теругольника АВС угол А = α, а угол B = β, причем α+β=90°

Рассмотрим треугольник СНВ, угол НСВ=90°-β=α

Рассмотрим треугольник СНD, так как СD диссектриса угла ВНС, то угол НСD=α/2

Тогда угол СDH=90°-α/2

Рассмотрим треугольник АСD. Угол ACD= 180-угол А -угол CDH= 180-α-(90°-α/2)=90°-α/2 Получается, что угол ACD= углу CDH

Т.е. углы треугольника АСD при основании CD равны, следовательно это равнобедренный треугольник и AC=AD.

Ч.Т.Д.

Answer 2

Для доказательства равенства AC = AD в треугольнике АВС с углом С = 90 градусов и биссектрисой угла ВСН необходимо использовать свойства биссектрисы и равенства треугольников.

Обозначим точку пересечения биссектрисы CD с лучом AB за точку Е. Тогда из свойств биссектрисы следует, что угол BCE равен углу ACB, а угол ACE равен углу ABC.

Так как угол С = 90 градусов, то углы ACB и ABC являются смежными дополнительными углами, то есть их сумма равна 180 градусов. Из этого следует, что угол BCE + угол ACE = 180 градусов.

Также из свойств биссектрисы следует, что CE делит сторону AB на две отрезка в пропорции, соответствующей боковым сторонам треугольника. То есть:

AB/BC = AE/EC

AB/AC = AD/DC

Теперь можно заметить, что треугольники ADE и ABC подобны, так как у них соответственные углы равны:

угол АDE равен углу ACE (из свойств биссектрисы)

угол ABC равен углу BAC (из свойств прямоугольного треугольника)

угол ACB равен углу ADB (из свойств биссектрисы)

Из подобия треугольников следует, что:

AB/AC = AD/DE

DE = AC, так как AB/AC = AB/DE (из выражений выше)

Таким образом, получаем, что AD = DE = AC, что и требовалось доказать.