Question

У прямокутному трикутнику HPE ( кут H=90 градусів) ЕК- бісектриса кута Е. Відрізок КЕ вдвічі більший за відрізок КН і на 8 см. менший від відрізка РН. Знайти катет РН.

Answer 1

решение и ответ на фото

Answer 2

Спочатку позначимо точки на малюнку і введемо необхідні позначення:

Оскільки відрізок $KE$ є бісектрисою кута $E$, то ми можемо застосувати відому формулу для бісектриси: $EK=\frac{2ab}{a+b},$ де $a$ та $b$ - довжини відрізків, які бісектриса ділить у трикутнику.

Позначимо $EK$ через $x$, а довжину відрізка $KN$ через $y$. За умовою задачі відомо, що $EK = 2y + 8$ та $PN = 2y + 16$. Ми також знаємо, що $EP = b$ і $PH = a$, де $a$ та $b$ - катети прямокутного трикутника.

Застосуємо тепер теорему Піфагора до прямокутного трикутника $HPE$, щоб отримати співвідношення між катетами $a$ та $b$:

$a^2 + b^2 = HP^2.$

А оскільки $HP$ дорівнює $PN + PH$, тобто $2y+16+a$, ми можемо переписати це співвідношення як:

$a^2 + b^2 = (2y+16+a)^2.$

Але ми також знаємо, що $EK$ є бісектрисою кута $E$, тому ми можемо застосувати формулу для бісектриси:

$x=\frac{2ab}{a+b}.$

Підставимо $a$ та $b$ виразами через $y$ та $x$:

$x = \frac{2y(2y+8)}{2y+a}.$

Зараз нам потрібно знайти $y$ таке, щоб задовольнити всі умови задачі. Звідси ми можемо виразити $a$ через $y$, використовуючи теорему Піфагора:

$a = \sqrt{HP^2 - b^2} = \sqrt{(2y+16+a)^2 - b^2}.$

Підставимо цей вираз для $a$ в формулу для $x$, щоб отримати рівняння з однією невідомою $y$:

$$$$