Question

в прямоугольном треугольнике высота проведенная к гипотенузе делит ее на отрезки длиной 25 см и 16 см.Найдите катеты.

Answer 1

Высота прямоугольного Δ, проведённая из вершины прямого угла есть среднее геометрическое для отрезков, на которые данная высота разбивает гипотенузу

CD=√AD*BD=√25*16=5*4=20

Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

AB=AD+BD=25+16=41

AC=√AB*AD=√41*16=4√41

BC=√AB*BD=√25*41=5√41

Answer 2

Пусть в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной p и q, где p > q.

Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

a^2 + b^2 = c^2

Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной p и q, соответственно. Из подобия треугольников получаем:

a/p = c/q

a/q = c/p

Отсюда выразим a и b через p и q:

a = cp/q

b = cq/p

Также из условия задачи известно, что:

p + q = c

p = 25 см

q = 16 см

Подставляя выражения для a и b, получаем:

a = c * p / q = c * 25 / 16

b = c * q / p = c * 16 / 25

Теперь можем выразить c через a и b:

c^2 = a^2 + b^2 = (c * 25 / 16)^2 + (c * 16 / 25)^2

Упрощая это выражение, получаем:

c^2 = 1360c^2 / 625

Из этого следует, что:

c = 25 / √1360

a = c * 25 / 16 = 625 / (16√1360)

b = c * 16 / 25 = 400 / (16√1360)

Таким образом, катеты треугольника равны:

a ≈ 9.66 см

b ≈ 6.19 см

Ответ: a ≈ 9.66 см, b ≈ 6.19 см.