Question

Найдите периметр треугольника если его площадь равна 72 см а отношение соседних сторон равно 1 / 2

Answer 1

72:3=24

24*2=48

(24+48)*2=144 см

Answer 2

Пусть a, b и c - длины сторон треугольника, а s - полупериметр.

Так как площадь треугольника равна 72 см², то

s*(s-a)(s-b)(s-c) = 72²

где

s = (a+b+c)/2

Дано отношение соседних сторон b/a = 1/2, то есть b = (1/2)a.

Заменяем b на выражение (1/2)a в уравнении площади:

s*(s-a)(s-(1/2)a)(s-c) = 72²

Раскрываем скобки:

s*(s² - (3/2)as + (1/4)a² - cs) = 72²

s³ - (3/2)as² + (1/4)a²s - c*s² = 72²/s

Также заметим, что из отношения соседних сторон b/a = 1/2 следует, что c = k*a, где k = b/c = 1/2.

Подставляем выражение для c в уравнение и упрощаем:

s³ - (3/2)as² + (1/4)a²s - kas² = 72²/s

s³ - s²*(3/2a + ka) + s*(1/4*a²) - 72²/s = 0

s³ - s²*(5/2a) + s(1/4*a²) - 72²/s = 0

Решаем это уравнение относительно s с помощью формулы Кардано:

s = (1/3)(5/2a + (1089 + q)^(1/3) + (1089 - q)^(1/3))

где

q = 900a + 1944(a²/16) - 3*(576*72/s²)

Теперь можно найти полупериметр s и, соответственно, длины сторон a, b и c:

s = 18 cm a = 12 cm b = 6 cm c = 6 cm

Периметр треугольника равен a+b+c, то есть

P = 12 + 6 + 6 = 24 см

Ответ: периметр треугольника равен 24 см.