Question

В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый.Докажите , что KP меньше MP

Answer 1

В треугольнике МКР угол МКР - тупой, так как смежный с ним угол NКР - острый.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. так как тупой угол в треугольнике самый большой то против него  лежит большая сторона МР.

следовательно КР<МР.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой синусов в треугольнике NKP:

$$\frac{KP}{\sin\angle NKP} = \frac{NP}{\sin\angle KNP}.$$

Угол $\angle NKP$ острый по условию, следовательно, $\sin\angle NKP > 0$. Кроме того, угол $\angle KNP$ также острый, поскольку сумма углов треугольника $KNP$ равна $180^\circ$, а угол $\angle MNP$ тупой. Значит, $\sin\angle KNP > 0$.

Таким образом, из теоремы синусов получаем:

$$KP = \frac{NP \sin\angle NKP}{\sin\angle KNP}.$$

Заметим, что угол $\angle NKP$ острый, а угол $\angle KNP$ острый и меньше $180^\circ$, следовательно, $\sin\angle NKP < \sin\angle KNP$. Следовательно,

$$KP = \frac{NP \sin\angle NKP}{\sin\angle KNP} < \frac{NP \sin\angle KNP}{\sin\angle KNP} = NP.$$

Таким образом, мы доказали, что $KP < NP$. Осталось заметить, что $NP = MP + KP$, так как точка $K$ лежит на стороне $MN$. Следовательно, $KP < NP = MP + KP$, что эквивалентно неравенству $KP < MP$, что и требовалось доказать.