Question

Дан треугольник АВС, угол А=80°, угол С =61° АД-биссектрисса угла А Найти угол АДВ

Answer 1

180-90-61=29°-В Бисс. Делит унол по полам следовательно =80/2=40°

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника, которая гласит: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника, содержащим этот угол.

Пусть точка D делит сторону AC на отрезки AD и DC в соотношении AB/BC. Тогда из определения биссектрисы следует, что угол ADB равен углу CDB.

Из условия задачи известно, что угол А равен 80°, поэтому угол С равен 180° - 80° - 61° = 39°.

Теперь можно выразить соотношение между сторонами треугольника ABC:

AB/BC = AD/DC.

Из свойства синусов в треугольниках ABD и BCD можно выразить AD и DC через углы:

AD/sin(ADB) = AB/sin(80°), DC/sin(CDB) = BC/sin(39°).

Так как угол ADB = CDB, то sin(ADB) = sin(CDB), а значит можно записать:

AD/DC = AB/BC = sin(80°)/sin(39°).

Отсюда получаем, что AD = AB * sin(80°)/sin(39°), а DC = BC * sin(39°)/sin(80°).

Теперь можно найти угол АДВ. Для этого воспользуемся свойством синусов в треугольнике ADV:

sin(ADV) = DV/AD = DV/(AB * sin(80°)/sin(39°)).

Но DV = BV, так как точка В лежит на биссектрисе угла А, а значит угол ADV равен углу BDV. Также из свойства синусов в треугольнике BVD имеем:

sin(BDV) = BV/BD = BV/(AB+BC).

Следовательно,

sin(ADV) = sin(BDV) = BV/(AB+BC).

Отсюда можно выразить BV:

BV = (AB+BC)*sin(BDV) = (AB+BC)*sin(ADV).

Таким образом, мы нашли отношение сторон треугольника ABC и выразили BV через угол ADV. Осталось только подставить известные значения и решить уравнение:

AB/BC = sin(80°)/sin(39°) AB = BC * sin(80°)/sin(39°) BV = (AB+BC)sin(ADV) = BC(sin(80°)/sin(39°) + 1)sin(ADV) BV = BC(1.376 + sin(ADV)) sin(BDV) = sin(ADV) = BV/(AB+BC) = BC*(1.376+sin(ADV